数学と英語のテストにおけるベン図を用いた生徒数の求め方

高校数学

2025.05.15

数学と英語のテストを行った際、数学に合格した生徒や英語に合格した生徒がどのように重なっているのかを考える問題です。ベン図を用いて、少なくとも一方に合格した生徒や、両方とも合格した生徒の人数を求める方法について解説します。

1. ベン図の理解

まず、ベン図は集合の関係を視覚的に表す図で、数学や確率の問題でよく使用されます。この問題では、数学のテストに合格した生徒、英語のテストに合格した生徒、両方のテストに合格した生徒という3つの集合を扱います。

「少なくとも一方に合格した生徒」とは、数学または英語、もしくはその両方に合格した生徒の人数を求める問題です。ベン図では、数学のテストに合格した生徒と英語のテストに合格した生徒の2つの集合の和集合を考えます。

和集合の人数は、次のように求めます。まず、数学に合格した生徒50人、英語に合格した生徒55人を足し、その後、両方に合格した生徒の人数（交差部分）を引きます。

次に、「両方とも合格した生徒」の人数を求めます。これもベン図で見ると、2つの集合の交差部分になります。この人数は、和集合の人数を求めたときに引いた交差部分として求められます。

具体的には、まず「少なくとも一方に合格した生徒」の人数を計算し、その後に残りの人数が両方に合格した生徒の人数になります。

問題で与えられた条件を元に、最も多い場合と最も少ない場合の人数を考えます。数学に合格した生徒が50人、英語に合格した生徒が55人という条件から、両方に合格した生徒の最大人数や最小人数をベン図を使って導きます。

最も少ない場合は、両方に合格した生徒の人数が0人のときです。このとき、「少なくとも一方に合格した生徒」の人数は、50人 + 55人 = 105人になりますが、総生徒数は60人なので、この人数が最大となります。

ベン図を使用して、数学と英語のテストにおける合格者の人数を計算する方法は、集合の和集合や交差部分を使う基本的な手法です。問題の条件をしっかりと理解し、視覚的に整理することで、人数を正確に求めることができます。