三角関数の式を満たす定数kの範囲を求める方法【高校数学】

この問題では、三角関数を含む式を満たす実数解の個数や定数kの範囲を求める問題です。特に、sin y = k – sin xとcos y = 1 – cos xという式から、定数kの範囲を求める方法について詳しく解説します。問題の解法には、同値条件の理解が必要です。

問題の整理

まず、与えられた2つの式と条件を整理します。

これらの式を元に、定数kの範囲を求めるために、まず①、②、③を満たす実数xとyの関係を式に変換していきます。

次に、式①と②を三角関数の恒等式sin² y + cos² y = 1に代入します。この結果を整理すると、次の式④が得られます。

2cos x = k² + 1 – 2k sin x

ここで、三角関数の定義からcos² x + sin² x = 1が成り立つため、⑤式も考慮しつつ、解法に必要な情報を抽出します。

ここでのポイントは、①、②、③を満たす実数x,yが存在することと、④、⑤を満たす実数xが存在することが同値でないという点です。式④と⑤を満たすxの解が存在するためには、ある条件を満たさなければなりませんが、同値でない理由は、解の存在を保証するために追加の条件が必要であるためです。

同値条件と必要条件の違いを理解することが、この問題を解くカギです。同値条件は、両方の条件が相互に成立する場合に適用されますが、必要条件は、ある条件が満たされることで他の条件が成立するための前提となるものです。

質問者が言及した動画では、なぜ同値条件でないかについて詳しく説明されています。具体的には、式④と⑤を満たす解が存在するかどうかを確かめるためには、追加の条件や条件式を解く必要があり、その結果としてkの範囲が求められることになります。

定数kの範囲を求めるためには、式④において、解が存在するための条件を見つけることが必要です。この範囲を求めるためには、xとyの範囲を調整しながら式を整理していきます。

この問題では、三角関数の式を満たす実数解を求めるために、同値条件や必要条件を理解することが重要です。また、式④と⑤を解く過程を通じて、定数kの範囲を求める方法を学びました。数学では、式を変形しながら条件を絞り込んでいく技術が重要です。