基礎解析学の問題解法ガイド: 直線・連立不等式・二次関数の解き方

この記事では、基礎解析学におけるさまざまな問題の解き方を紹介します。直線の方程式、連立不等式、二次関数などの問題に関する具体的な解法を解説していきます。数学の理解を深めるためのステップバイステップの解説をご覧ください。

1. 直線の方程式を求める問題

問1. 直線y = 2x のグラフと平行で、点(−2, 1)を通る直線の1次関数を求める問題です。この問題を解くには、直線の傾きが同じであることを利用します。y = 2xの直線の傾きは2です。新しい直線も同じ傾きを持ち、点(−2, 1)を通ることが条件なので、点と傾きを使って方程式を求めます。

問2. 2点(1, 5)と(−2, −1)を通る直線の1次関数を求めます。この場合、まず2点間の傾きを求め、次に点の一つを使って直線の方程式を求めます。傾きの公式を使用して、直線の方程式を求めることができます。

問3. 連立不等式4x − 2 ≦ 6と3x ≧ x − 6を解く問題です。連立不等式を解くには、まず各不等式をそれぞれ解き、その後で解を重ね合わせることで解答が得られます。解の範囲を求め、適切に表現します。

問4. 2次関数y = 2x^2 − 4x − 1の頂点の座標を求める問題です。2次関数の頂点を求めるには、平方完成を行うか、頂点の公式を使用します。頂点の公式を用いて簡単に頂点の座標を求めることができます。

問5. 放物線の軸がx = 2であり、点(1, 5)、(4, 11)を通る2次関数を求める問題です。この問題では、放物線の方程式を求めるために、与えられた点を利用してパラメータを決定します。軸の方程式が与えられているので、対称性を利用して解を求めます。

問6. 2次関数y = −2x^2 − 4x + 2の−3 ≦ x ≦ 2における最大値と最小値を求める問題です。この問題では、2次関数の最大・最小値を求めるために、頂点の位置を求め、区間における関数の値を計算します。

問7. 2次方程式x^2 − 4x + c = 0が異なる2つの実数解を持つときの定数cの値の範囲を求める問題です。この問題は判別式を使用して解きます。判別式が正である条件を求めることで、cの範囲を得ることができます。

問8. 放物線y = x^2 + 2xと直線y = x + 6の共有点の個数を調べる問題です。放物線と直線の交点を求めるためには、2つの式を連立させて解きます。その後、解の個数や座標を求めます。

このように、基礎解析学の問題はステップバイステップで解いていくことが重要です。公式や解法の理解を深めることで、数学的な問題解決能力を向上させることができます。個々の問題に対するアプローチを学ぶことで、より効率的に解答を導けるようになります。