2x³ + 6x + 1の実数解の個数を求める方法【数Ⅱ】

「2x³ + 6x + 1」の異なる実数解の個数を求める問題について解説します。この問題は、三次関数の実数解の個数を求める方法を理解するための重要な問題です。この記事では、解法のステップを詳しく説明し、答えが1個である理由を示します。

三次関数の解の個数を求めるための基本アプローチ

三次関数の解の個数を求める際には、まずその関数がどのように振る舞うかを理解することが重要です。特に、三次関数のグラフは最大でも3つの実数解を持つことができます。そのため、解の個数を求めるためには、関数のグラフの形状やその変化を考慮する必要があります。

この問題では、2x³ + 6x + 1という三次関数の実数解の個数を求めます。まず、グラフの変化を観察し、解の個数を特定することから始めます。

まず、関数の微分を使って関数の変化を調べます。微分を行うと、関数の傾きがわかり、グラフがどのように変化するかが明確になります。

2x³ + 6x + 1の微分を求めると、次のようになります。

f'(x) = 6x² + 6

この微分方程式を解くと、関数が増加または減少しているかを確認することができます。解があるかどうかを調べるために、f'(x) = 0を解くと、x² = -1となりますが、実数解は存在しません。したがって、この関数には極値が存在しないことがわかります。

次に、元の関数「2x³ + 6x + 1」の実数解を求めます。この関数が示すグラフは、x軸との交点が1つであることが確認できます。具体的に言うと、f(x) = 0を解いたときに、xの解は1つだけです。

このようにして、解の個数が1つである理由がわかります。元の関数のグラフは、x軸と1点だけ交わるため、実数解は1個です。

「2x³ + 6x + 1」の実数解の個数を求める問題では、微分を用いて関数の変化を確認し、実数解が1つであることを確認しました。このように、三次関数の実数解の個数を求めるためには、微分を使って関数の極値や変化を調べることが効果的です。