limx→+0 (1/sinx)^x の極限をロピタルの定理で求める方法

今回は、limx→+0 (1/sinx)^x の極限を求める問題について解説します。この問題はロピタルの定理を使って解くことができます。まずは問題の整理から始めましょう。

問題の整理

与えられた問題は、limx→+0 (1/sinx)^x です。この関数はxが0に近づくと、sin(x)が0に近づくため、1/sin(x) が非常に大きくなります。このような極限は、通常の代数的な操作では解きにくいですが、ロピタルの定理を使えば解くことができます。

ロピタルの定理を使うためには、まず対象の関数を適切な形に変形する必要があります。まず、(1/sinx)^x の形を ln を使って変形しましょう。ln[(1/sinx)^x] = x * ln(1/sinx) です。これをxが0に近づく極限で評価します。

次に、x * ln(1/sinx) を扱います。これはxが0に近づくと、0 * ∞ という形になります。これを解決するためにロピタルの定理を使用することができます。ロピタルの定理を適用するために、分子と分母を微分します。

微分した結果、最終的に求めるべき極限は1になります。したがって、limx→+0 (1/sinx)^x = e^0 = 1 となります。

limx→+0 (1/sinx)^x の極限を求めるためには、まず対数を取って式を簡単にし、その後ロピタルの定理を適用することで解くことができました。最終的な答えは1です。このような問題では、ロピタルの定理を有効に使うことで複雑な極限も簡単に解くことができます。