連続する奇数の2乗の和から2を引いた数が8の倍数であることの証明

連続する2つの奇数の2乗の和から2を引いた数が8の倍数になるという問題を解いてみましょう。これを証明するために、まず連続する奇数の定義を確認し、次にその2乗の和を求めます。最終的に、和から2を引いた結果が8の倍数であることを示します。

連続する奇数の定義

連続する奇数とは、例えば1と3、5と7、9と11のように、間隔が2の奇数のペアです。これらを一般的な形式で表すと、1つ目の奇数を「2n + 1」、2つ目の奇数を「2n + 3」とすることができます。ここで、nは整数です。

このように、連続する2つの奇数は「2n + 1」と「2n + 3」と表すことができます。

次に、連続する2つの奇数「2n + 1」と「2n + 3」の2乗を求め、その和を計算します。

まず、それぞれの2乗を計算します。

 (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1

次に、2番目の奇数「2n + 3」の2乗を計算します。

 (2n + 3)^2 = 4n^2 + 12n + 9

したがって、2つの奇数の2乗の和は以下のようになります。

 (2n + 1)^2 + (2n + 3)^2 = (4n^2 + 4n + 1) + (4n^2 + 12n + 9) = 8n^2 + 16n + 10

次に、この2つの奇数の2乗の和から2を引きます。

 8n^2 + 16n + 10 - 2 = 8n^2 + 16n + 8

すると、結果は「8n^2 + 16n + 8」となります。この式は明らかに8の倍数です。なぜなら、すべての項に8が共通因数として含まれているからです。

最終的に、計算結果「8n^2 + 16n + 8」は8で割り切れるので、この式は8の倍数であることが証明されました。

したがって、連続する2つの奇数の2乗の和から2を引いた数は必ず8の倍数になることが確認できました。

今回の証明では、連続する奇数の2乗の和から2を引いた結果が8の倍数であることを示しました。この方法を理解することで、連続する奇数に関する他の問題にも応用が可能です。

証明のポイントは、式を整理して共通因数を見つけることにあります。この方法を他の類似の問題にも活用できるので、ぜひ覚えておきましょう。