2sin((n-m)θ/2)がコーシー列でないことの証明

この問題では、2sin((n-m)θ/2)がコーシー列でないことを証明する方法について解説します。コーシー列とは、収束性に関する性質を持つ数列ですが、この関数はその性質を持っていないことがわかります。

コーシー列の定義

コーシー列とは、数列が収束する場合、その任意の項が十分に小さな範囲で集まる性質を持っています。具体的には、ある数列がコーシー列であるためには、任意の正のεに対して、十分に大きなNが存在し、n, m ≥ N のときに|a_n – a_m| < εとなる必要があります。

問題となっている式は2sin((n-m)θ/2)です。この式の構造を確認してみましょう。この関数のnとmの値によって、数列の項がどのように変化するのかを分析します。

関数の形から分かるように、nとmの差が大きくなると、sin((n-m)θ/2)の値は変動し続け、次第に収束することが難しくなります。したがって、この数列はコーシー列としての条件を満たしません。

コーシー列として成立するためには、数列の項が収束し、無限に続く項が次第に近づいていかなければなりません。しかし、2sin((n-m)θ/2)の場合、nとmの差が大きくなると、sin関数の値はその範囲内で繰り返し動き、最終的に収束しません。

特に、この関数はθの値によってその変動幅が大きく異なるため、一定の範囲に収束することはありません。これにより、コーシー列の定義を満たさないと結論できます。

2sin((n-m)θ/2)がコーシー列でない理由は、数列の項が十分に小さく集まらず、収束しないためです。コーシー列の定義を確認し、収束の性質に基づいて、この関数がその条件を満たさないことを理解しました。このように、収束しない数列についてはコーシー列として扱うことはできません。