放物線の方程式について、y^2 = 4px や x^2 = 4py は一般的に知られている放物線の標準形です。しかし、y = 1 – x^2 のような方程式も放物線と呼ばれる理由については、いくつかの視点から理解できます。この記事では、なぜ y = 1 – x^2 が放物線とされるのか、そしてその数学的な理由について詳しく解説します。
放物線の標準形とは？
放物線の標準形としてよく知られるのは、y^2 = 4px や x^2 = 4py です。これらの方程式は、放物線がどのように展開するか、またその対称軸を持つかを示す基本的な形式です。標準形の放物線は、p の値によって開き方や幅が決まります。
y = 1 – x^2の方程式
y = 1 – x^2 は、見た目が放物線に似ていますが、標準形とは少し異なります。y = 1 – x^2 は、y 軸を対称軸として下向きに開いた放物線です。この方程式を整理すると、x^2 = 1 – y となり、確かに x^2 = 4p(y – c) の形に似ていることが分かります。
引き算（-）が入っていることについて
方程式に引き算（-）が入っていると、放物線の位置や方向が変化することがありますが、依然として放物線とみなすことができます。例えば、y = 1 – x^2 の場合、引き算があってもこの方程式は放物線の特徴を持っているため、依然として「放物線」と呼ばれます。
放物線と呼ばれる理由
数学的に、y = 1 – x^2 のような方程式が放物線と呼ばれる理由は、放物線の定義に合致しているからです。一般に放物線とは、ある定点（焦点）と直線（準線）からの距離が等しい点の軌跡として定義されます。y = 1 – x^2 もこの定義に従っているため、放物線とされます。
まとめ
y = 1 – x^2 の方程式は、標準形から少し外れた形式ですが、それでも放物線と呼ばれる理由は、放物線の定義とその特性に適合しているからです。引き算が入っていても、放物線であることには変わりません。このような方程式は、放物線の理解を深めるための良い例となります。
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