sinhx > 0 の意味とその逆関数についての解説

「sinhx > 0」で逆関数が存在するという教授の説明について、理解が難しいという質問がありました。この記事では、「sinhx > 0」の意味をわかりやすく解説し、逆関数が存在する条件についても詳しく説明します。

sinhxとは？

sinhx（双曲線正弦関数）は、次の式で定義されます：
sinhx = (e^x – e^(-x)) / 2

これは指数関数を使った関数で、xの値に応じて実数値を取ります。sinhxは、xが0より大きい場合、正の値を取り、xが0より小さい場合、負の値を取ります。

sinhx > 0の意味は、sinhxが正の値を取る範囲を指します。具体的には、x > 0のときにsinhxは正の値になります。xが0より大きいとき、指数関数的に増加するため、sinhxの値は0より大きくなります。

逆に、x < 0のとき、sinhxは負の値になります。つまり、「sinhx > 0」というのは、xが正の値を取るときに成り立つ条件です。

逆関数が存在するためには、関数が単調増加または単調減少でなければなりません。sinhxは単調増加関数であり、xが増加するにつれてその値も増加します。したがって、sinhxは逆関数を持ちます。

しかし、逆関数が定義されるためには、sinhxが定義域全体で一意の値を取る必要があります。sinhxは全実数に対して定義されており、その範囲で逆関数が存在します。

sinhxの逆関数は「arsinhx」と呼ばれ、次の式で表されます。

 arsinhx = ln(x + √(x² + 1))

逆関数が存在するためには、sinhxが全ての実数で一意に定まる必要があります。そのため、「sinhx > 0」の条件においても逆関数が存在することが確認できます。

「sinhx > 0」という条件は、xが正の値を取る範囲において成り立ちます。このとき、sinhxは単調増加し、逆関数が存在することがわかります。逆関数が存在するための条件や、sinhxの性質について理解を深めることで、問題に対する解答が明確になります。