ランダムウォークの持ち点がN点で終わる確率の計算方法

この問題では、ランダムウォークにおける持ち点がN点で終了する確率を求める式に関して説明します。問題の中では、コインを投げて表が出ると持ち点が1点増し、裏が出ると1点減るというルールで進行します。ここでは、最終的に持ち点がN点で終わる確率を求める方法と、その計算の途中で登場する式について解説します。

問題の設定と解説

問題の設定は、最初の持ち点がi点からスタートし、コインを投げて表（確率p）または裏（確率q=1-p）が出ることで持ち点が増減していきます。持ち点が0点またはN点に到達するとゲームが終了します。

このゲームにおいて、持ち点がN点で終了する確率をvi（i=0,1,…,N）とすると、次のような関係式が成り立ちます。

vi = q * vi-1 + p * vi+1

これは、持ち点iからi-1またはi+1に移動する確率の加重平均を表しています。vi+1 – vi = q/p (vi – vi-1)という式が得られ、viの間隔はq/p倍になっていることがわかります。

なぜその合計が1になるのか？

次に、viの合計が1になる理由について解説します。実際に、v0, v1, …, vNの間隔はq/p倍であり、この合計が1になる理由は確率の法則に基づいています。具体的には、確率の合計は1になるという前提から、最終的にゲームが終了する確率が1であることを意味します。

合計が1になる理由は、次のように理解できます。確率は全体で1になる必要があり、viの各項目の重みがその確率の分布を表しているからです。したがって、各項の確率が適切に分布している限り、その合計は1になります。

計算の実際と例

実際にこの問題を解くには、各段階でviを求める必要があります。最初の条件（v0 = 0, vN = 1）を設定し、viの関係式を使って順番に計算していきます。

たとえば、v0 = 0, vN = 1と設定し、次にv1, v2, …, v(N-1)の値を求めていくことで、最終的な解が得られます。この計算により、N点で終わる確率を求めることができます。

まとめ

ランダムウォークの問題における持ち点がN点で終了する確率の計算は、確率の法則を用いた加重平均の関係式を使うことで解決できます。viの合計が1になる理由は、確率分布の合計が常に1であるという基本的な法則に基づいています。この問題を理解することで、確率論やランダムウォークの基本的な考え方を学ぶことができます。