f(x) = loge(x + √(x^2 + 1)) の導関数の求め方

この問題では、関数 f(x) = loge(x + √(x^2 + 1)) の導関数を求める方法について解説します。まず、関数に含まれる複雑な式を分解し、微分法を適用するステップを詳しく説明します。最終的に、求めたい導関数の形で答える方法を確認しましょう。

問題の式の確認

与えられた関数は、f(x) = loge(x + √(x^2 + 1)) です。これは、ログ関数と平方根を含む複雑な式ですが、微分法を使って導関数を求めることができます。

まず、導関数を求めるためには、合成関数の微分法（連鎖律）を適用します。この式には、ログ関数と平方根が組み合わさっています。したがって、まずログ関数と平方根を別々に考えます。

ログ関数の微分公式は、d/dx[loge(u)] = 1/u × du/dx です。この場合、u = x + √(x^2 + 1) ですので、u’（uの微分）を求める必要があります。

次に、u = x + √(x^2 + 1) の微分を求めます。√(x^2 + 1) の微分は、(1/2)(x^2 + 1)^(-1/2) × 2x です。これを計算すると、x / √(x^2 + 1) となります。したがって、u’ = 1 + x / √(x^2 + 1) です。

最終的に、関数の導関数 f'(x) は次のようになります。f'(x) = 1 / (x + √(x^2 + 1)) × (1 + x / √(x^2 + 1)) です。この形が求める答えとなります。

今回の問題では、微分法の基本的なルールである連鎖律を適用し、複雑な関数の導関数を求めました。最終的に、求めた導関数の形は、問題の指定通り、適切に整理されています。