a² + 2ab + b² を (a + b)² に変形する手順と理由

a² + 2ab + b² を (a + b)² に変形する方法について理解することは、代数の基本的な力を養うために重要です。この式変形がなぜ可能なのか、またその具体的な手順について解説します。今回は分配法則や因数分解の逆の視点を使って、この式変形を理解する方法を説明します。

まずは (a + b)² を展開する

(a + b)² を展開する方法を確認します。分配法則を用いて、(a + b)² を展開すると以下のようになります。

(a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)

この式をそれぞれ展開すると。

a(a + b) = a² + ab

b(a + b) = ab + b²

これらを合わせると。

a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

このようにして、(a + b)² を展開した結果が a² + 2ab + b² になることがわかります。

a² + 2ab + b² の因数分解を試みる

次に、a² + 2ab + b² を (a + b)² に変形する手順を見ていきます。まず、式を因数分解してみます。

a² + 2ab + b² を因数分解するには、まずその構造を理解することが重要です。この式は、(a + b)² という形になっていることが分かります。実際にそのまま因数分解すると。

a² + 2ab + b² = (a + b)(a + b) = (a + b)²

このように、a² + 2ab + b² は、(a + b)² と完全に一致します。

因数分解の手順の誤解について

質問者が述べているように、a² + 2ab + b² を因数分解しようとした際に途中で困難に感じることがあります。特に、aでくくると a(a + 2b) + b² になる部分では、因数分解がうまく進まない場合があります。これは、式を誤って扱うと、(a + b)² という形にはなりません。

正しい因数分解の手順は、分配法則を逆に適用して、元の式が (a + b)² であることを確認することです。a² + 2ab + b² という式が実は (a + b)² であることに気づけば、問題は解決します。

まとめ

a² + 2ab + b² を (a + b)² に変形する理由とその手順は、分配法則に基づいています。まず (a + b)² を展開することで、a² + 2ab + b² に戻すことができます。また、a² + 2ab + b² はそのまま (a + b)² と因数分解できるため、式の変形が可能です。この手順を理解することで、代数の基礎をしっかりと押さえることができます。