数学の問題において、関数の最大値や最小値を求めることは非常に重要なテーマです。特に、式が複雑である場合、どのように解くべきか理解するのは難しく感じるかもしれません。この記事では、与えられた関数の最大値と最小値を求めるための具体的な手順を解説し、同様の質問に関する疑問を解消します。
問題の設定
関数y = 4^x + 1 – 16^x + 7（x ≦ 2）の最大値と最小値を求めるという問題です。解答には、x = 1/2で最大値11、x = 2で最小値-185となりますが、なぜそのような結果になるのかを理解することが重要です。
式を整理して変形する
まず、関数を見てみましょう。式にある4^xと16^xは、実は同じ底の異なる指数です。16^xは、16 = 4^2であることを考えると、16^x = (4^x)^2となります。この変換を使って式を簡単にすることができます。
したがって、関数を次のように変形できます。
y = 4^x + 1 – (4^x)^2 + 7
ここで、4^xをtとおくと、式は以下のように変わります。
y = t + 1 – t^2 + 7
y = -t^2 + t + 8
最大値と最小値の計算
ここで、t = 4^xという変数に変換しました。これにより、式が簡単になり、最大値と最小値を求めやすくなります。
次に、この二次関数y = -t^2 + t + 8の最大値と最小値を求めます。二次関数の最大値は、頂点のx座標で求めることができます。二次関数の頂点は、t = -b / 2aで求められます。ここでは、a = -1, b = 1なので、頂点のtの値は。
t = -1 / (2 * -1) = 1/2
t = 4^xに戻す
t = 4^xとおいているので、t = 1/2が成立するためには、4^x = 1/2である必要があります。この方程式を解くと、x = 1/2となります。
したがって、x = 1/2で最大値が得られます。そのときのyの値を求めるために、t = 1/2を元の式に代入します。
y = -(1/2)^2 + (1/2) + 8 = -1/4 + 1/2 + 8 = 11
よって、最大値は11となります。
x = 2での最小値
次に、x = 2での最小値を求めます。x = 2の場合、t = 4^2 = 16となります。この値を元の式に代入して、yの値を求めます。
y = -(16)^2 + 16 + 8 = -256 + 16 + 8 = -185
よって、x = 2で最小値は-185となります。
まとめ
この問題では、式を変形して新しい変数を導入することで、二次関数に簡単に変換することができました。t = 4^xという変数を使うことで、最大値と最小値を求めるための計算が簡単になり、最終的にx = 1/2で最大値11、x = 2で最小値-185を得ることができました。この方法を理解することで、同様のタイプの問題にも応用が可能です。
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