2つの3次方程式の解法と因数分解の方法

3次方程式の解法と因数分解は、代数の重要な技術の一つです。この記事では、2つの3次方程式の解法について、与えられた式をどのように因数分解し、解を求めるかを解説します。また、質問に対する答えが正しいかどうかも確認していきます。

1. x^3 + x^2 – 9x – 9 = 0 の解法

この方程式を解くためには、まず因数分解を行います。問題文では、p(-1) = -1 + 1 + 9 – 9 = 0 となっており、x = -1が因数であることがわかります。

したがって、x + 1が因数となり、次にx^3 + x^2 – 9x – 9をx + 1で割ります。これにより、商はx^2 – 9となります。

次に、x^2 – 9は差の平方として因数分解できます。これにより、x^2 – 9 = (x + 3)(x – 3)となります。最終的に、x^3 + x^2 – 9x – 9 = (x + 1)(x + 3)(x – 3)となります。

したがって、この方程式の解は、x = -1, x = -3, x = 3です。

次に、2つ目の方程式x^3 + 3x^2 – x – 3 = 0を解きます。まず、p(1) = 1 + 3 – 1 – 3 = 0と確認されているので、x = 1が因数であることがわかります。

したがって、x – 1が因数となり、次にx^3 + 3x^2 – x – 3をx – 1で割ります。これにより、商はx^2 + 4x + 3となります。

次に、x^2 + 4x + 3を因数分解すると、(x + 3)(x + 1)になります。最終的に、x^3 + 3x^2 – x – 3 = (x – 1)(x + 3)(x + 1)となります。

したがって、この方程式の解は、x = 1, x = -3, x = -1です。

質問者の計算結果は正しいです。最初の方程式の解はx = -1, x = -3, x = 3であり、2番目の方程式の解もx = 1, x = -3, x = -1です。両方の方程式とも、因数分解を使って解くことができ、解の検証も問題なく行えます。

3次方程式の解法は、因数分解を使うことで効率的に求めることができます。今回のように、因数を見つけて商を計算し、再度因数分解を行う方法は、数学の基本的な技術です。質問に対する解答は正しく、与えられた方程式を適切に解くことができました。