16/9(-18±17√6i) の立方根の求め方

複素数の立方根を求める問題では、通常、複素数を極形式に変換し、その後立方根を求める方法を使用します。この問題では、16/9(-18±17√6i) の立方根を求めるための手順を説明します。具体的な解法を段階的に解説しますので、参考にしてください。

複素数の極形式への変換

まず、複素数 -18±17√6i を極形式に変換します。複素数 z = a + bi は、極形式で表すと r(cos(θ) + i sin(θ)) となります。ここで、r は複素数の絶対値、θ は偏角です。

この式を適用するためには、まず絶対値 r を求め、次に偏角 θ を求める必要があります。複素数の絶対値は、r = √(a² + b²) です。また、偏角 θ は、tan(θ) = b/a から求めることができます。

与えられた複素数 -18±17√6i において、a = -18、b = ±17√6 です。まず、絶対値 r を求めます。

r = √((-18)² + (17√6)²) = √(324 + 1734) = √2058 ≈ 45.34

次に、偏角 θ を求めます。θ = tan⁻¹(b/a) であり、b = 17√6 ですので。

θ = tan⁻¹((17√6)/(-18)) ≈ tan⁻¹(-4.08) ≈ -76.6°

次に、この複素数の立方根を求めます。複素数の n 乗根は、r^(1/n) の絶対値と、θ/n の偏角で表されます。今回求めるのは立方根なので、n = 3 です。

立方根の絶対値は、r^(1/3) で求められ、偏角は θ/3 です。したがって、立方根の絶対値は。

r^(1/3) = (45.34)^(1/3) ≈ 3.56

偏角は。

θ/3 = -76.6°/3 ≈ -25.53°

したがって、16/9(-18±17√6i) の立方根は次のように表されます。

r(cos(θ) + i sin(θ)) = 3.56(cos(-25.53°) + i sin(-25.53°))

この結果が求める立方根の極形式となります。複素数の立方根を求める際には、このように極形式で計算を行い、その後、必要に応じて直交座標形式に変換します。

複素数の立方根を求めるためには、まず複素数を極形式に変換し、次にその立方根を計算します。具体的な手順としては、絶対値と偏角を求め、立方根の絶対値と偏角を計算することです。この方法を利用することで、複雑な複素数の問題も解決することができます。