高校数学の解法解説：なぜ-2t^3 – 2t^2 = kの解の個数はグラフの交点と等しいのか

高校数学における「-2t^3 – 2t^2 = k」という方程式の解の個数が、グラフの交点の個数とどのように関連しているのかをわかりやすく解説します。この問題は、数式とグラフの関係を理解する良い機会です。

方程式とグラフの関係

まず、方程式「-2t^3 – 2t^2 = k」の右辺を定数kとしておくと、これは一次元の数値を求める問題に変わります。この方程式は、変数tに対してcubic（3次）関数の形をしています。一方で、y = -2t^3 – 2t^2という関数のグラフは、tの値に対してyの値を示す曲線です。

方程式の解とグラフの交点

y = kという直線は、y軸で高さがkの位置に平行な直線です。この直線と、y = -2t^3 – 2t^2のグラフが交わる場所が、方程式の解に対応しています。つまり、方程式の解の個数は、グラフと直線が交わる点の個数に等しくなります。

グラフの交点の個数

y = -2t^3 – 2t^2のグラフは、t軸に沿って上に下に波を打つような形をしています。このため、y = kという直線がグラフと交わる場所は複数ある場合もあります。そのため、解の個数はグラフの交点の個数に対応することになります。

まとめ

このように、「-2t^3 – 2t^2 = k」の解の個数は、実際にy = kの直線とy = -2t^3 – 2t^2のグラフが交わる点の数と一致します。グラフと直線の交点を視覚的に確認することで、方程式の解を直感的に理解できるようになります。