微積分学の問題：関数の有界性と積分の極限の証明方法

この問題では、与えられた条件のもとで、積分の極限値を求める問題を解く方法について解説します。関数fが有界で、任意のb > 0に対して[0, b]上で可積分であること、そしてx = 0で連続であるという条件を踏まえて、次の式を証明します。

問題の整理

問題は次の式を示すことです：
lim_x→+0 ∫₀^∞ xf(t)/(x²+t²) dt = πf(0)/2

ここで、fが有界で、任意のb > 0に対して[0, b]上で可積分であり、x = 0で連続であることが前提となります。

ステップ1: 積分の性質と極限

まず、式に出てくる積分を考えます。積分の形を見てみると、分母にはx² + t²という項があります。この項はtに関して積分を行う際に有効であり、またxが0に近づくにつれて積分の挙動がどう変化するかを考察することが重要です。

さらに、この積分はfが有界かつ連続であることに依存するため、連続性を活用しながらx = 0の周辺での挙動を理解する必要があります。

ステップ2: 極限値の評価

次に、x → +0の極限を評価します。xが0に近づくとき、この積分は主にtが小さい領域で支配的になります。特に、tがxに比べて十分大きい場合、積分の結果はほぼf(0)に収束します。

この評価を基に、積分の極限がπf(0)/2であることを示すためには、まず積分の大部分がxに依存する項に対してどのように収束するかを見極める必要があります。

ステップ3: 定積分と積分の結果

最終的には、積分結果がπf(0)/2に収束することを示します。x → 0のとき、積分は積分区間[0, ∞)の全体にわたって、特に中心部分で主にf(0)によって支配されるため、この値が積分の結果として現れます。

この過程を通じて、与えられた条件下での積分の極限値がどのように導かれるかが明確に理解できます。

まとめ

本問題では、x → +0の極限における積分の値を示すために、関数fが有界であること、そしてfがx = 0で連続であるという条件を利用しました。xが0に近づくときの積分の挙動を考慮し、最終的にπf(0)/2という結果に到達しました。この問題の解法を通じて、積分の極限を求めるための手法とその理論を理解できました。