中学数学の問題解説：√2023nが整数となる正の数nの2番目に小さいnの求め方

今回は、中学数学の問題「√2023nが整数となる正の数nのうち、2番目に小さいnの数を求めよ。」について解説します。この問題で最小のnが7であることが分かっている状態で、2番目に小さいnを求める方法を一歩ずつ解説します。

問題の整理と考え方

問題の条件から、「√2023nが整数」となるnを求めるということは、2023nが完全な平方数である必要があるということです。つまり、2023nがある整数mの2乗に等しくなるようなnを探すことが求められています。

まず、2023nが平方数になるためには、2023とnの間にどのような関係が必要かを考えます。ここで重要なのは、2023が既に平方数でないことです。そのため、nが2023の因数のうち平方数でない部分を補完する必要があります。

2023の因数を調べると、2023は素因数分解して「2023 = 7 × 17 × 17」と表せます。このことから、2023には17が2回含まれており、この17が1回足りないことがわかります。したがって、nにはもう1つ17を掛けてあげることで、2023nが平方数になります。

これで、n = 17とすると、2023 × 17 = 2023nが平方数になります。次に、最小のnが7であることがわかっているので、このことを利用してnを求めます。

最小のnは、2023n = 2023 × 7 = 14161が平方数であることから、n = 7が最小の解となります。次に、2番目に小さいnを求めるためには、nにさらに別の因数を掛け合わせて、2023nが再び平方数となるようにします。

2023nが再び平方数となるためには、nにもう1つ17を掛けてあげる必要があります。したがって、2番目に小さいnはn = 17 × 7 = 119となります。これが2番目に小さいnです。

今回の問題では、2023nが整数となるようなnを求めるために、2023の因数を調べ、nに必要な因子を掛け合わせる方法を解説しました。最小のnは7であり、2番目に小さいnは119であることがわかりました。このように、因数分解と平方数の概念を利用して問題を解くことができます。