この式 a^3b – ab^3 + b^3c – bc^3 + c^3a – ca^3 の因数分解について解説します。因数分解は、数式を簡単な形に変換するための重要な手法であり、複雑な式を分解することで、式の理解が深まります。この記事では、この式の因数分解のステップを順を追って説明します。
式の構造を理解する
まず、式 a^3b – ab^3 + b^3c – bc^3 + c^3a – ca^3 を見てみましょう。各項は、a、b、c という変数を含んでおり、立方体の形に関連した項が多いことが分かります。この式を因数分解するには、まず同じパターンを持つ項をグループ化することが有効です。
式は次のように整理できます：
- a^3b – ab^3
- b^3c – bc^3
- c^3a – ca^3
これらの項が似た形をしているため、因数分解を進めやすくなります。
グループ化と共通因数を取り出す
次に、各グループから共通因数を取り出します。
- a^3b – ab^3 = ab(a^2 – b^2)
- b^3c – bc^3 = bc(b^2 – c^2)
- c^3a – ca^3 = ca(c^2 – a^2)
ここで、それぞれのグループに共通因数を取り出しました。次に、この式をより簡単な形に変換するために、差の平方の公式を利用します。
差の平方公式を適用する
差の平方の公式を使うと、次のように変換できます。
- a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)
- b^2 – c^2 = (b – c)(b + c)
- c^2 – a^2 = (c – a)(c + a)
これを先程の式に代入すると、次のようになります。
- ab(a^2 – b^2) = ab(a – b)(a + b)
- bc(b^2 – c^2) = bc(b – c)(b + c)
- ca(c^2 – a^2) = ca(c – a)(c + a)
最終的な因数分解の結果
最終的に、式は次のように因数分解されます。
ab(a – b)(a + b) + bc(b – c)(b + c) + ca(c – a)(c + a)
このように、式は因数分解され、各項が独立した因数の積に分解されました。これにより、式がよりシンプルになり、計算や解析が容易になります。
まとめ
式 a^3b – ab^3 + b^3c – bc^3 + c^3a – ca^3 の因数分解は、まず項をグループ化し、共通因数を取り出すことで簡単に進めることができます。その後、差の平方の公式を適用し、最終的に因数分解された形に到達します。このように、因数分解は数学的な整理をするために非常に重要な手法です。
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