∫_0^∞ e^{-x^2}cos 2x dxの求め方とその解法のステップ

この問題は、ガウス積分やフーリエ変換を活用することで解ける興味深い積分です。数式が多くて難しそうに見えますが、適切な手法を使うことで解答できます。この記事では、問題の背景とステップバイステップの解法を解説し、求める積分の答えを導く方法をわかりやすく説明します。

問題の整理と積分の設定

与えられた積分は次の通りです。

∫_0^∞ e^{-x^2}cos 2x dx

この問題を解くためには、まずフーリエ変換の知識を使います。まず、φ(y)≡∫_0^∞ e^{-x^2}cos 2xy dxを定義し、これを用いて解いていきます。φ(y)は、yについての関数として表現され、最終的にはφ(1)を求めることで元の積分を解くことができます。

まず、次のように定義します。

φ(y)≡∫_0^∞ e^{-x^2}cos 2xy dx

この式は、yに依存する関数として積分を表現しています。この後、微分や積分の操作を行っていきます。

次に、φ(y)をyについて微分します。得られた式は次のようになります。

φ'(y) = ∫_0^∞ -2x e^{-x^2} sin 2xy dx

さらに、この式を加工していきます。積分内の(e^{-x^2})’を用いて以下のように変形します。

φ'(y) = ∫_0^∞ (e^{-x^2})' sin 2xy dx = -2yφ

これにより、φ'(y)とφ(y)の関係が示されます。この式を使うことで、次のステップに進むことができます。

次に、この微分方程式を解いていきます。積分の結果から得られるφ(y)は以下のように表されます。

ln φ(y) - ln φ(0) = -y^2

これを解くと、最終的にφ(y)は次の式になります。

φ(y) = √π / (2e^{y^2})

ここで、y=1を代入することで、求める積分の答えが得られます。

∫_0^∞ e^{-x^2}cos 2x dx = φ(1) = √π / (2e)

積分を行う際に、収束性を確認することが重要です。ここでは、∫_0^∞ |x e^{-x^2} sin 2xy| dxが収束することを確認し、積分の順番を変えても問題ないことを確かめています。これにより、任意の有界閉区間で積分を適用することができます。

この問題は、フーリエ変換と微積分の知識を駆使して解くことができます。重要なのは、φ(y)を定義し、微分方程式を解くことで最終的に答えを導く方法です。解法の過程を理解することで、類似の問題に対しても応用が利くようになります。問題を解く際には、収束の確認も忘れずに行うことが大切です。