n×m行列Aとm×n行列Bの積ABの(i,j)成分の求め方

n×m行列Aとm×n行列Bの積であるn次の正方行列ABの(i,j)成分を求める問題について、シグマ記号を使った計算方法を解説します。線形代数の基礎として重要なこの問題をわかりやすく説明します。

行列の積とその成分

行列Aと行列Bがそれぞれn×m行列とm×n行列の場合、行列ABのサイズはn×nの正方行列になります。行列ABの(i,j)成分は、行列Aのi行目と行列Bのj列目の対応する要素の積を全て足し合わせたものです。

式で表すと、ABの(i,j)成分は次のように求められます。

(AB)_{ij} = Σ(k=1 to m) a_{ik} * b_{kj}

上記の式では、a_{ik}は行列Aのi行目、k列目の成分を表し、b_{kj}は行列Bのk行目、j列目の成分を表します。シグマ記号Σは、kを1からmまで動かして、各kに対応するa_{ik}とb_{kj}を掛け合わせた値を合計することを示しています。

この方法を使うことで、行列AとBの積ABを計算する際に、個々の成分を簡単に求めることができます。

例えば、行列Aが3×2行列で、行列Bが2×3行列だとします。ABの成分(1,2)を求める場合、次のように計算します。

(AB)_{12} = a_{11} * b_{12} + a_{12} * b_{22}

このように、i行目とj列目の成分を計算するために、シグマ記号を使って全ての対応する項を加算していきます。

n×m行列Aとm×n行列Bの積ABの(i,j)成分は、シグマ記号を使って、行列Aのi行目と行列Bのj列目の対応する要素を掛け算してその合計を求めることで得られます。この方法を使うことで、行列の積を効率よく計算することができます。