三角関数の問題で、tanθ = -1/2 が与えられたときに sinθ と cosθ の値を求める方法についての質問です。sin²θ + cos²θ = 1 の恒等式を使って解くことが一般的ですが、解説では sinθ = tanθ × cosθ を使っており、なぜこの方法が有効なのかという疑問が生まれます。本記事では、この問題をどのように解くべきかをわかりやすく解説します。
tanθ = -1/2 の意味と基本的な解法
tanθ = -1/2 の問題では、まず tanθ が与えられているので、tanθ = sinθ / cosθ の関係式を使います。これにより、sinθ と cosθ の関係がわかります。しかし、問題では sin²θ + cos²θ = 1 の恒等式も使う必要があります。
tanθ = -1/2 から、sinθ と cosθ の関係を直接導くことは難しいため、代わりに三角関数の基本的な恒等式を使います。これにより、他の方法と組み合わせて解を求めることができます。
sin²θ + cos²θ = 1 を使った解法の問題点
sin²θ + cos²θ = 1 は、三角関数の恒等式として知られていますが、この式だけでは sinθ と cosθ の符号を正確に決定することはできません。実際には、この恒等式は sinθ と cosθ の平方和が1であることを示すものであり、個々の値の符号を決めるためには、別の情報が必要です。
tanθ = -1/2 の場合、tanθ の符号が負であることから、sinθ と cosθ の符号を正確に決める必要があります。そこで、sinθ = tanθ × cosθ の関係を利用すると、符号の問題が解決できます。
sinθ = tanθ × cosθ を使った解法
sinθ = tanθ × cosθ の関係を使うことで、sinθ と cosθ の符号を確定することができます。tanθ = -1/2 が与えられているので、これを代入すると。
sinθ = (-1/2) × cosθ
これを使って、cosθ の値を求めることができます。そして、得られた cosθ の値を元に、sinθ を求めることが可能です。この方法では、解法の途中で符号の取り扱いが明確になるため、問題を解きやすくなります。
数I と数II の違い – 三角関数の解法方法
数Iと数IIでは、解法のアプローチに違いがあります。数Iでは、基本的な三角関数の恒等式や関係式を使うことが主ですが、数IIではそれに加えて、tanθ や sinθ と cosθ の関係を使い分ける必要があります。
この問題でも、数Iでは sin²θ + cos²θ = 1 の恒等式を使うことで解くことができますが、数IIではさらに tanθ = sinθ / cosθ の関係や、sinθ = tanθ × cosθ という式を使うことが求められるのです。
まとめ
tanθ = -1/2 の問題では、sin²θ + cos²θ = 1 の恒等式だけではなく、tanθ と sinθ と cosθ の関係を使うことが重要です。特に、sinθ = tanθ × cosθ の関係式を使うことで、符号の取り扱いや計算が簡単になります。
数I と数IIの違いを理解し、適切な解法を選ぶことで、三角関数の問題をよりスムーズに解くことができます。問題に応じた最適な方法を使って、正確な答えを求めることが大切です。
コメント