この問題では、2つの方程式 x² + y² = 2 と xy = 1 が接する点を求める問題です。2つの方程式が接するとは、グラフ上で交わる点が1つだけであることを意味します。接することを証明するためには、これらの方程式をうまく扱い、接点を求める必要があります。この記事では、その証明方法を詳しく解説します。
問題の整理と方程式の理解
まず、問題に出てくる方程式を確認しましょう。
- x² + y² = 2：これは円の方程式です。中心が原点 (0, 0) で半径が√2 の円を表しています。
- xy = 1：これは双曲線の方程式です。
これらの2つの方程式が接するということは、円と双曲線が1点だけで交わることを意味します。次に、この接点を求めるための手順を説明します。
接点を求めるための手順
この問題を解くには、2つの方程式を連立させて解く方法が有効です。まず、xy = 1 の方程式から、y を x の式で表現します。
xy = 1 より、y = 1 / x となります。この式を x² + y² = 2 に代入して、x だけの方程式に変換します。
連立方程式を解く
y = 1 / x を x² + y² = 2 に代入すると、次のような式になります。
x² + (1 / x)² = 2
これを整理すると、x² + 1 / x² = 2 という式になります。この式を解くために、両辺に x² を掛けて、次のように変形します。
x⁴ + 1 = 2x²
これをさらに整理すると、次の二次方程式が得られます。
x⁴ – 2x² + 1 = 0
これを変数変換します。x² を z と置くと、z² – 2z + 1 = 0 という二次方程式になります。この方程式は、z = 1 という解を持っています。
解の確認と接点の導出
z = 1 という解から、x² = 1 となり、x = ±1 となります。これにより、x = 1 または x = -1 という2つの解が得られます。
次に、y = 1 / x の式に代入して、それぞれの x に対応する y の値を求めます。
- x = 1 のとき、y = 1 / 1 = 1
- x = -1 のとき、y = 1 / -1 = -1
よって、接点は (1, 1) または (-1, -1) です。
接することの証明
これで、x² + y² = 2 と xy = 1 の2つの方程式が交わる点が (1, 1) と (-1, -1) の2点であることがわかりました。つまり、これらの方程式は接するのではなく、交わる点が2つ存在します。
まとめ
今回の問題では、2つの方程式 x² + y² = 2 と xy = 1 が接するかどうかを求めました。結果として、これらの方程式は接するのではなく、交わる点が2つ存在することが証明されました。このような問題を解くには、連立方程式をうまく使って解を導くことが重要です。
コメント