因数分解の途中式に関する解説: (a+2)²+3(a+2)-4の因数分解

数学の因数分解の問題で、特に途中の式で混乱してしまうことはよくあります。今回は、式 (a+2)² + 3(a+2) – 4 の因数分解について、なぜ途中で M – 1 と M + 4 の形になるのかを解説します。

問題の整理と置き換え

最初に与えられた式は (a+2)² + 3(a+2) – 4 です。これを因数分解するためには、まず M を使って置き換える方法を使います。

式を簡単にするために、M = a + 2 と置き換えます。これにより、式は次のように変わります。

M² + 3M – 4

次に、式 M² + 3M – 4 を因数分解します。この式は、通常の二次方程式の因数分解の方法を使って解けます。

二次式の因数分解では、係数が +3 と -4 の場合、 (M – 1)(M + 4) という形に因数分解できます。なぜなら、 -1 と +4 を掛け合わせると -4 になり、足すと +3 になるからです。

次に、M = a + 2 と置き換えた元の式に戻します。

まず、 (M – 1)(M + 4) の M を a + 2 に戻すと、次のような式が得られます。

(a + 2 – 1)(a + 2 + 4)

これは、 (a + 1)(a + 6) と因数分解されます。これが最終的な因数分解の結果です。

問題の中で混乱している部分は、なぜ M – 1 と M + 4 になるのかという点です。

その理由は、二次方程式 M² + 3M – 4 を因数分解するために、 +3 と -4 の積が -4 で、和が +3 になる2つの数を見つける必要があるからです。この2つの数が -1 と +4 です。したがって、因数分解された形は (M – 1)(M + 4) となります。

今回の問題では、式 (a+2)² + 3(a+2) – 4 の因数分解を行う過程で、 M という置き換えを使いました。その後、 M² + 3M – 4 を因数分解して、最終的に (a + 1)(a + 6) という形にしました。

因数分解の過程で M – 1 と M + 4 という形になる理由は、二次方程式の解法を用いた結果であり、特に積と和に注目することが重要です。この方法を理解することで、他の類似の問題にも応用できるようになります。