数学のテストでよく出る展開の問題。例えば、(a²+3ab+2b²)(x-y)のような式を展開する際に、順番を変えても答えは合うのか、という疑問を持った方も多いと思います。この記事では、展開式の順番について説明し、問題を解く際に注意すべきポイントをわかりやすく解説していきます。
展開式の基本的な考え方
まず、展開式とは、括弧を外して式を広げる作業です。例えば、(a+b)(x+y)という式を展開する場合、a(x+y) + b(x+y)となり、それぞれの項を掛け算して整理します。このように、展開式は分配法則を使って解くことが基本です。
順番を変えても答えが同じかどうか
質問で出された式(a²+3ab+2b²)(x-y)について、順番を変えて展開しても答えは同じになるのでしょうか。結論として、展開する順番を変えても答えは同じになります。なぜなら、分配法則において掛け算の順番は重要ではないからです。
例えば、(a²+3ab+2b²)と(x-y)を掛け算する際に、まずa²を(x-y)に掛け、その後に3abを(x-y)に掛け、最後に2b²を(x-y)に掛けるという順番でも、逆の順番で掛け算をしても、最終的に得られる式は同じになります。
分配法則と順番の自由度
分配法則を使うことで、掛け算の順番を変えても結果は変わりません。これは掛け算が「交換法則」と「結合法則」を満たすためです。交換法則とは、a×b = b×aのように、掛け算の順番を入れ替えても結果は変わらないことを意味します。また、結合法則とは、(a×b)×c = a×(b×c)のように、掛け算のグループ化を変えても結果が変わらないことを意味します。
実際の展開方法
例えば、(a²+3ab+2b²)(x-y)という式を展開する場合、まずa²を(x-y)に掛け、その後に3abを(x-y)に掛け、最後に2b²を(x-y)に掛けると、次のようになります。
a²(x-y) + 3ab(x-y) + 2b²(x-y)
この結果をさらに整理すると、最終的に展開された式が得られます。順番を変えても、この式の結果は変わりません。
まとめ
展開式において、順番を変えても答えは同じになります。分配法則に従い、掛け算の順番を自由に入れ替えても最終的に得られる結果は変わらないことが理解できたかと思います。テストでこのような問題が出た場合は、順番にこだわらずに確実に計算を進めることが重要です。
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