高校数学の微分の学習で出てくるロピタルの定理。特に「lim[x→0] xlogx」を求める際に、ロピタルの定理をどのように適用するかがわからないと感じることがあります。この質問に関する疑問を解消するために、ロピタルの定理の基礎とその適用方法について解説します。
ロピタルの定理とは？
ロピタルの定理は、不定形の極限を解決するための強力なツールです。不定形とは、例えば「0/0」や「∞/∞」のように、直接計算すると答えがわからない形のことを指します。ロピタルの定理を使うと、分子と分母をそれぞれ微分することで、極限を求めることができます。
lim[x→0] xlogx における不定形の確認
まず、lim[x→0] xlogxを考えてみましょう。この式は、x → 0のとき、xが0に近づくときに「x * log(x)」がどのように振る舞うかを示しています。ここで、log(x)はx → 0のとき負の無限大（-∞）に発散し、xは0に近づくので、初見では不定形のように見えます。
この式を「lim[x→0] (log(x)) / (1/x)」と変形できます。ここで、分子はlog(x)でx → 0のとき-∞に、分母は1/xでx → 0のとき∞に近づきます。したがって、この形は「∞/∞」の不定形に該当します。
ロピタルの定理の適用
ロピタルの定理を適用するためには、分子と分母をそれぞれ微分します。まず、log(x)の微分は1/xで、次に1/xの微分は-1/x^2です。したがって、lim[x→0] log(x) / (1/x)を計算するには、これらの微分を使って、再度極限を求めることができます。
新しい式は「lim[x→0] (1/x) / (-1/x^2)」となり、これは「lim[x→0] -x」になります。最終的に、この式はx → 0で0に収束します。
なぜロピタルの定理を使えるのか
log(x) / (1/x)の極限が「∞/∞」の不定形になったため、ロピタルの定理が使えることがわかります。つまり、元の式lim[x→0] xlogxは、ロピタルの定理を適用することで、正確に計算できるということです。
まとめ
ロピタルの定理は「0/0」や「∞/∞」の不定形の極限を解決するために非常に有効な方法です。lim[x→0] xlogxの場合、式をlog(x) / (1/x)と変形し、ロピタルの定理を適用することで、最終的に0に収束することが確認できます。このように、不定形の極限ではロピタルの定理を使って問題を解くことができます。
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