二次関数の値域を求める方法：問題解説と解法

高校1年生の数学で出てくる二次関数の問題について、特に「値域を求める」という問題の解き方に関して解説します。この問題では、与えられた区間内での二次関数の値域を求めることが求められていますが、どのように解くべきかをステップごとに見ていきましょう。

二次関数の式と問題設定

まず、問題の二次関数の式は以下のようになっています。

y = (3x²)/4 – 3x + 4

この関数の値域を求めるためには、まず区間 a ≦ x ≦ b (0＜a＜b) における関数の最大値と最小値を求める必要があります。

二次関数の最大値や最小値を求めるためには、まずその関数の頂点の位置を求めることが重要です。二次関数の一般的な形は、y = ax² + bx + c です。この場合、xの値が頂点である点が最大または最小の値を与えます。

頂点のx座標は以下の公式を使って求めます。

x = -b / 2a

ここで、a = 3/4, b = -3 のため、頂点のx座標は。

x = -(-3) / (2 * (3/4)) = 3 / (3/2) = 2

したがって、x = 2が頂点のx座標になります。

次に、x = 2を関数の式に代入して、yの値を求めます。

y = (3 * (2)²) / 4 – 3 * 2 + 4 = (3 * 4) / 4 – 6 + 4 = 3 – 6 + 4 = 1

したがって、yの最小値は1です。

区間[a, b]における値域を求めるためには、区間の端点での関数の値も計算する必要があります。例えば、aとbが0と3であると仮定すると、x = 0とx = 3を関数に代入して、対応するyの値を求めます。

x = 0の場合。

y = (3 * (0)²) / 4 – 3 * 0 + 4 = 4

x = 3の場合。

y = (3 * (3)²) / 4 – 3 * 3 + 4 = (3 * 9) / 4 – 9 + 4 = 27 / 4 – 9 + 4 = 6.75 – 9 + 4 = 1.75

したがって、この区間における値域は、yが1から4の間にあることがわかります。

この問題では、二次関数の式からその頂点の位置を求め、区間内での最大値と最小値を計算することが重要です。具体的には、関数の式を元に頂点のx座標を求め、その点を関数に代入してyの値を計算することで、最小値を得ることができます。

また、区間内の端点での関数の値を計算し、それらを元に最小値と最大値を比較することで、値域を求めることができます。このような手順を踏むことで、二次関数の値域を簡単に求めることができます。