中学生の数学の問題で、「5桁の整数abcdeにおいて、abcを2倍にし、cdを足した数が7の倍数であるとき、この整数abcdeが7の倍数であることを証明せよ」という問題が出題されました。この記事では、その証明をわかりやすく解説します。
問題の設定と式の展開
問題では、整数abcdeを10000a + 1000b + 100c + 10d + eという形で表すことができます。この式を使って、式を展開していきます。具体的に言うと、次のような式に分解できます。
abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e
次に、仮定として「abcを2倍し、cdを足した数が7の倍数である」という条件を元に式を展開します。
2×(100a + 10b + c) + 10d + e = 7x（x は整数）
これを展開すると。
- 200a + 20b + 2c + 10d + e = 7x
式の分解：7の倍数の理解
次に、この式を元の形に戻して、7の倍数であることを証明します。まず、式を次のように分解できます。
abcde = (9800a + 980b + 98c) + (200a + 20b + 2c + 10d + e)
ここで、式の前半部分「9800a + 980b + 98c」を見ると、それぞれが7の倍数であることがわかります。なぜなら、10000a、1000b、100cのそれぞれは7で割り切れるためです。したがって、この部分は必ず7の倍数です。
後半部分の確認と証明
次に後半部分「200a + 20b + 2c + 10d + e」ですが、これは仮定に基づいて7の倍数であるとされています。したがって、この部分も7で割り切れるということがわかります。
したがって、式の前半部分と後半部分がどちらも7の倍数であるため、元の整数abcdeも7の倍数であることが証明されます。
証明の結論
このように、式の分解と確認を行うことで、「5桁の整数abcdeが7の倍数であること」を証明しました。重要なのは、式を分解し、個々の項がどのように7の倍数になるかを確認することです。仮定の条件が正しければ、証明の通り元の数も7の倍数であることが確定します。
まとめ
「5桁の整数abcdeが7の倍数であることを証明する」問題では、式の分解と仮定を活用することで、問題を簡単に解くことができました。式の展開と分解を通じて、数学的な証明の基本的な流れを理解することができるので、他の類似問題にも応用が可能です。
コメント