lim f(x)/g(x) = lim (f(x) – f(a))/(g(x) – g(a)) の理由 | 数学的証明と解説

この問題では、lim f(x)/g(x) = lim (f(x) – f(a))/(g(x) – g(a)) がなぜ成り立つのかを解説します。まずは式の意味とそれがどのように導かれるのか、微積分の基本的な考え方をもとに詳しく説明します。

問題の確認と式の理解

与えられた式は、関数f(x)とg(x)の極限に関するものです。x → a のとき、f(x) / g(x)の極限と(f(x) – f(a)) / (g(x) – g(a))の極限が等しいことを示す問題です。これがどのように成立するのか、順を追って解説します。

微分法則と極限の関係

まず、微積分における基本的な概念である微分を思い出してみましょう。f(x)とg(x)がx = aで連続であれば、f(x)とg(x)の極限を求めることで、関数の動きを理解することができます。特に、(f(x) – f(a)) / (x – a)のような式は、f(x)の微分を表していることに注目してください。

次に、f(x)とg(x)が連続であるならば、それぞれの極限を個別に求めた場合、その商の極限も求めることができるという特性があります。したがって、f(x)/g(x)の極限は(f(x) – f(a)) / (g(x) – g(a))という形に変形できるわけです。

商の極限と微分の関係

ここで重要なのは、商の極限が分子と分母の差分を使って表されるという点です。この式が成り立つためには、f(x)とg(x)がaにおいて微分可能であり、かつその微分が0でないことが条件となります。

言い換えれば、商の極限が存在するためには、f(x)とg(x)のそれぞれがaで微分可能であることが必要です。そして、この式の導出では、差分商の極限を取ることによって商の極限に変換するという手法を使います。

具体的な証明の流れ

具体的に証明を進めると、f(x) / g(x)の極限を求めるためには、まず(x – a)で分子と分母を分け、次にその商を微分の定義に基づいて解釈します。この過程で、lim (f(x) – f(a)) / (g(x) – g(a))という形が現れます。

これにより、商の極限がf(x)とg(x)の極限に等しいことが理解できるようになります。微分の定義に従って、この商の極限を求める方法は非常に効果的で、広く使われるテクニックです。

まとめ

この問題を通じて、関数の商の極限と微分の関係について学びました。特に、f(x)/g(x)の極限を求める際に、(f(x) – f(a)) / (g(x) – g(a))に変換することができる理由を理解しました。この考え方は、微積分における基本的なテクニックの一つであり、他の問題にも応用することができます。