絶対値を含む1次不等式の解法 - |−4x + 3|≦a の最小値を求める方法

絶対値を含む1次不等式の解法は、まず不等式を2つのケースに分けて考えることがポイントです。今回は、不等式 |-4x + 3| ≦ a を満たす整数 x の個数が5個になるような、最小のaの値を求める問題を解説します。

不等式を2つのケースに分ける

絶対値を含む不等式の解法では、まず絶対値の中身を正負に分けて2つのケースに分けます。今回は |-4x + 3| ≦ a という不等式ですので、以下の2つのケースに分けて考えます。

これにより不等式が簡単になります。まず、具体的な数値の変更方法を見ていきます。

−a ≦ −4x + 3 ≦ a に対して、まず両辺から3を引きます。

−a − 3 ≦ −4x ≦ a − 3

次に、両辺を−4で割り、向きを反転します。

(a + 3) / 4 ≦ x ≦ (a − 3) / 4

この不等式から、xの範囲を求めることができます。整数 x の個数が5個となるようにaの値を調整していきます。

この不等式の範囲内に含まれる整数の個数を5個にするために、(a + 3) / 4 と (a − 3) / 4 の間に5個の整数が収まるようにaの値を求めます。

具体的には、(a − 3) / 4 − (a + 3) / 4 + 1 = 5 となるようにaを決めます。この式を解くことで、aの最小値が求められます。

計算を進めていくと、a = 17となります。このとき、xの範囲に含まれる整数は5個であるため、a = 17が最小値であることが確認できます。

今回の問題では、絶対値を含む1次不等式の解法を通して、整数xの個数が5個となるような最小値aを求める方法を学びました。不等式を2つのケースに分け、変形した式から整数xの個数を求めることで、最小のaの値を算出できました。このような問題では、絶対値を適切に扱い、計算を進めることが重要です。