ベクトルの問題でよく出てくるのが、与えられたベクトルに垂直なベクトルを求める問題です。この記事では、ベクトルa = (4, -2) に垂直なベクトルを求める方法をわかりやすく解説します。垂直なベクトルを求めるための基本的なアプローチを理解し、問題に応じた計算方法を紹介します。
ベクトルが垂直であるための条件
2つのベクトルが垂直であるためには、ベクトルの内積が0でなければなりません。内積は、2つのベクトルがどれだけ直交しているかを示す指標で、2つのベクトルa = (a₁, a₂) とb = (b₁, b₂) の内積は次のように計算されます。
a・b = a₁b₁ + a₂b₂
2つのベクトルが垂直であるためには、この内積がゼロである必要があります。つまり、a・b = 0 という条件が満たされる必要があります。
ベクトルa = (4, -2) に垂直なベクトルを求める
与えられたベクトルa = (4, -2) に垂直なベクトルb = (x, y) を求めるには、内積が0になるように設定します。
ベクトルa = (4, -2) とベクトルb = (x, y) の内積は、次のように計算できます。
a・b = 4x + (-2)y = 4x – 2y
これが0でなければなりません。したがって、次の式が成り立ちます。
4x – 2y = 0
内積の条件を解く
4x – 2y = 0 という式を解くと、次のようになります。
4x = 2y
ここから、x = (1/2)y という関係が得られます。これは、ベクトルa = (4, -2) に垂直なベクトルb = (x, y) が、xがyの半分であるような比例関係にあることを示しています。
具体的には、yを任意の値とし、それに対応するxを計算することで、ベクトルbを求めることができます。例えば、y = 2 の場合、x = 1 となり、b = (1, 2) というベクトルが得られます。
別の垂直なベクトルを求める方法
また、逆の比率で、x = -y という関係を使うこともできます。この場合、y = -1 のとき、x = 1 となり、b = (1, -1) という別の垂直なベクトルが得られます。
このように、ベクトルaに垂直なベクトルは無限に存在することが分かりますが、それらはx = (1/2)y や x = -y という関係に基づいて生成することができます。
まとめ
ベクトルa = (4, -2) に垂直なベクトルを求める方法は、内積の条件を利用することで簡単に解くことができます。内積がゼロになるようにxとyの関係式を立てることで、垂直なベクトルを求めることができます。問題を解く際には、内積の条件と比例関係をしっかりと使い、いくつかの解を求めることができる点も重要なポイントです。
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