微積分の定義とdyの解釈：Δxとdxの違いについて

微積分における基本的な定義と、dyの導出について疑問を持つことはよくあります。特に、Δxとdxの違いについて理解することは重要です。この記事では、なぜΔxが使われるのか、またdxをいきなり使ってもよいのか、そしてlim(Δx→0)の意味について詳しく解説します。

微積分におけるΔxとdxの違い

微積分で用いられるΔxとdxは似ているようで異なる概念です。Δxは「変化量」を表し、これは有限の差を指します。一方で、dxは「無限小の変化量」を意味し、これは微小な差として理論的に定義されます。

具体的には、Δxは限界値に達する前の有限の差であり、dxは極限を取ることによって得られる非常に小さな値であると言えます。

式f'(x) = lim(Δx→0)Δy/Δxが示すのは、微分の定義です。ここで重要なのは、Δxが0に近づくときにΔy/Δxがどのように変化するかを調べているという点です。Δxを使うことで、有限の範囲から無限小の変化へと移行する過程を理解できるのです。

一方、dxは既に極限の概念を内包しているため、Δxが0に近づく過程を表現するためにはlim(Δx→0)の式が必要です。

次に、dy = f'(x)Δxという式について考えます。これは微分の定義をもとに、ある点での変化量を計算する式です。Δxが極めて小さくなったとき、dyは微小な変化を表し、この微小な変化をdxとし、Δxの代わりにdxを使っても問題ないわけです。

要するに、dy = f'(x)ΔxはΔxが非常に小さい場合に近似として使うことができ、最終的にdxとして表現されることになります。

この記事では、Δxとdxの違い、そしてΔxからdxへの移行について解説しました。Δxは実際の差を、dxは理論上の無限小の差を意味し、微積分における微小な変化量の扱いにおいて重要な役割を果たします。

微分の定義においては、Δxが極限値に近づく過程を考え、最終的にdxを使うことで微小な変化を計算することができるのです。この考え方を理解することで、微積分の基礎をしっかりと理解することができます。