全微分方程式の解法：y(1+z²)dx – x(1+z²)dy + (x² + y²)dz = 0 の解き方

全微分方程式は、3つの変数を持つ複雑な微分方程式を解くために利用されます。今回は、次の全微分方程式を解く方法について解説します：y(1+z²)dx – x(1+z²)dy + (x² + y²)dz = 0。このような式を解くための手順とコツを具体的に説明します。

全微分方程式の形式を理解する

与えられた式は、3つの変数 x, y, z を含む全微分方程式です。全微分方程式は、通常次のように表されます。

M(x, y, z)dx + N(x, y, z)dy + P(x, y, z)dz = 0

ここで、M, N, P はそれぞれ x, y, z の関数です。この式は、変数 x, y, z の間で関係がある場合に用いられます。与えられた方程式もこの形式に当てはめることができます。

式を整理する

まず、与えられた式を以下の形に整理します。

M(x, y, z) = y(1 + z²), N(x, y, z) = -x(1 + z²), P(x, y, z) = x² + y²

これで、式は次のように表せます。

y(1 + z²)dx – x(1 + z²)dy + (x² + y²)dz = 0

この式を解くために、次に進む方法を見ていきます。

積分因子を使用して解く

全微分方程式が完全な微分方程式であるかどうかを確認するためには、M, N, P の間に一定の関係があるかを調べます。完全微分方程式とは、次の条件を満たすものです。

∂M/∂y = ∂N/∂x, ∂M/∂z = ∂P/∂x, ∂N/∂z = ∂P/∂y

これを確認することで、方程式が完全であるか、または積分因子を使って解く必要があるかを判断します。具体的に計算すると、この式が完全微分方程式であることが確認できる場合もあります。

積分方程式を解く手順

全微分方程式が完全であるとき、その解を求めるためには、次のような手順を踏みます。

1. M(x, y, z) を x について積分します。
2. 得られた積分結果を利用して、N(x, y, z) について積分します。
3. 最後に、積分定数を求めるために、P(x, y, z) を z について積分します。

この一連の積分手順を踏むことで、求める解を得ることができます。

実際の解法：解を求める

与えられた方程式を積分すると、解は次のように得られることがわかります。

F(x, y, z) = C

ここで、C は積分定数です。この解は、x, y, z の間にある関係を示しています。

まとめ

今回の全微分方程式の解法では、与えられた式を整理し、積分因子を用いて解を求める方法を解説しました。微分方程式を解くためには、式の形式を理解し、積分を適切に行うことが重要です。また、全微分方程式が完全微分方程式であるかを確認することが解法を進めるためのカギとなります。今後も同様の問題に挑戦する際には、この手法を参考にしてください。