この問題では、関数 y = 4^x – 2^(x+2) + 1 の最大値と最小値、およびそのときのxの値を求める問題です。まず、関数の形を理解し、その変化を調べるために必要な手順を詳しく解説していきます。
問題の確認と関数の解析
与えられた関数は y = 4^x – 2^(x+2) + 1 です。この関数の最大値と最小値を求めるためには、まずこの関数の動きを理解し、x の範囲が -1 ≦ x ≦ 2 のときにどのような値を取るかを調べます。
関数の中には指数関数が含まれており、各項は異なる形式の指数関数です。y = 4^x の部分と y = 2^(x+2) の部分があり、それぞれがどのように振る舞うかを見ていきます。
微分による極値の探求
次に、関数の最大値と最小値を求めるために、微分を用いて極値を求めます。微分を行うことで、関数が増加しているのか減少しているのか、またどの点で極大または極小となるかを調べます。
まず、y = 4^x – 2^(x+2) + 1 を x について微分します。微分後の関数のゼロ点を求め、その位置が極大か極小かを調べます。この際、x の範囲 -1 ≦ x ≦ 2 での挙動を確認します。
関数の最大値と最小値の計算
微分の結果、関数の極値となる点 x = 1 を求めることができます。この点で、関数は最小値を取ります。また、x = 2 で最大値を取ることがわかります。
具体的には、x = 2 のときの関数の値が最大値 1 であり、x = 1 のときの関数の値が最小値 3 であることがわかります。
最大値と最小値の確認
ここまでの計算から、x = 2 で最大値 1、x = 1 で最小値 3 であることが確認できました。これにより、関数の最大値と最小値がどのように求められるかを理解することができました。
まとめると、与えられた関数 y = 4^x – 2^(x+2) + 1 は、x = 2 で最大値 1、x = 1 で最小値 3 を取ります。
まとめ
この問題では、関数の微分を用いて最大値と最小値を求める方法を学びました。関数の形に含まれる指数関数の挙動を理解し、微分を使って極値を求めることで、最大値と最小値を正確に求めることができました。指数関数に関する基本的な解析方法を学んだことで、今後の問題解決にも役立てることができます。
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