f(x, y) = (x²y²) / ((x - 1)(y - 1)) の極値の求め方

関数 f(x, y) = (x²・y²) / ((x – 1)(y – 1)) の極値を求めるには、微分を利用してその変動を調べる必要があります。この記事では、この関数の極値を求める方法を段階的に解説します。具体的には、偏微分を使って臨界点を求め、その後で極値かどうかを判定する方法を説明します。

関数の偏微分を求める

まず、この関数は2変数の関数ですので、xとyに関してそれぞれ偏微分を行います。偏微分は、関数の変数の一方を固定して、残りの変数で微分する手法です。

まず、f(x, y) = (x²y²) / ((x – 1)(y – 1)) の形において、xとyでそれぞれ偏微分を行います。ここで、商の微分法則を使用します。商の微分法則に従って、f(x, y)のxに関する偏微分とyに関する偏微分を求めます。

まず、f(x, y)のxに関する偏微分を求めます。商の微分法則を使い、分子と分母を個別に微分し、その後計算します。同様にyに関しても偏微分を行います。これにより、∂f/∂xと∂f/∂yが求められます。

次に、この偏微分の結果を使って、関数がどのように変化するかを調べます。偏微分が0になる点が臨界点となり、極値を取るかどうかを調べるための鍵となります。

次に、偏微分が0となる点を求めます。これにより、xとyがどのような値を取ると関数が最大値または最小値を取るかが分かります。臨界点を求めたら、さらにその点で関数の性質を調べる必要があります。

臨界点を求めるためには、∂f/∂x = 0 および ∂f/∂y = 0 の連立方程式を解く必要があります。これにより、xおよびyの値が分かり、極値がどこで発生するのかが明らかになります。

臨界点が求まったら、その点が極大か極小かを判定するために、二階微分を使う方法があります。二階微分の結果によって、その点が極大か極小か、または鞍点であるかが分かります。

二階微分を行った結果、求められる値が正であれば極小値、負であれば極大値、0であれば鞍点となります。

この記事では、関数 f(x, y) = (x²y²) / ((x – 1)(y – 1)) の極値を求める方法を解説しました。まず偏微分を行い、次に臨界点を求め、その後で二階微分を使って極値を判定する方法です。

これらのステップを踏むことで、2変数関数の極値を計算することができます。具体的な計算に関しては、各ステップでの偏微分や方程式の解法に焦点を当てることで、理解を深めることができるでしょう。