微分法の問題でよく出題されるのが、高階微分を求める課題です。今回は「tany = x のとき、y = π/4 での d²y/dx² を求める」という問題について解説します。d²y/dx²は、y の2階微分を求める問題であり、数学的な理解を深めるための重要なステップです。
問題の整理：tany = x の式
まず、問題で与えられている式「tany = x」について考えます。この式は、y が x の関数であり、y = tan⁻¹(x) という逆関数で表されることが分かります。つまり、y は x の逆正接関数です。
微分の対象として考えるべき関数は、この y = tan⁻¹(x) です。この関数を使って、まずは1階微分 d/dx を求め、その後2階微分 d²y/dx² を求めます。
1階微分 d/dx の計算
y = tan⁻¹(x) の1階微分を求めるには、逆正接関数の微分公式を使います。tan⁻¹(x) の微分は次のようになります。
d/dx [tan⁻¹(x)] = 1 / (1 + x²)
したがって、y の1階微分は。
dy/dx = 1 / (1 + x²)
これで、1階微分が求められました。
2階微分 d²y/dx² の計算
次に、2階微分を求めます。1階微分の結果を再度微分することで、2階微分が求められます。dy/dx = 1 / (1 + x²) を x で再び微分します。
これを微分するには、商の微分法則を使用します。具体的な計算手順は以下の通りです。
d²y/dx² = d/dx [1 / (1 + x²)]
商の微分法則に従って計算すると、2階微分は。
d²y/dx² = -2x / (1 + x²)²
これが、y = tan⁻¹(x) の2階微分の結果です。
y = π/4 のときの d²y/dx² の計算
問題では、y = π/4 のときの d²y/dx² を求めることが求められています。y = π/4 のとき、tan(π/4) = 1 であるため、x = 1 のときの微分値を求めることになります。
したがって、x = 1 を d²y/dx² = -2x / (1 + x²)² に代入すると。
d²y/dx² = -2(1) / (1 + (1)²)² = -2 / (2²) = -2 / 4 = -1/2
これにより、y = π/4 のときの d²y/dx² は -1/2 であることがわかりました。
まとめ
今回の問題では、tany = x のとき、y = π/4 での d²y/dx² を求める方法を解説しました。まず、y = tan⁻¹(x) を使って1階微分を計算し、その後2階微分を求めました。そして、y = π/4 のときの d²y/dx² を求めるために x = 1 を代入し、最終的に -1/2 という値を得ました。
微分の計算をスムーズに進めるためには、微分公式や商の微分法則をしっかり理解することが重要です。今後、他の微分問題にも応用できる技術ですので、ぜひ活用してください。
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