数学Ⅰの不等式の問題では、定数を含む不等式を解くことがよくあります。この問題では、与えられた不等式5(x – 1) ＜ 2(2x + a)を満たす最大の整数xがx = 6であるとき、定数aの範囲を求める方法を解説します。また、a ≦ 1がどのようにして得られるのか、そしてなぜa ≦ 100などの大きな値では成り立たないのかについても詳しく説明します。
不等式の整理と解法
まずは、問題に与えられた不等式を整理しましょう。与えられた不等式は次のようになります。
5(x – 1) ＜ 2(2x + a)
まずは、両辺を展開して整理します。
左辺を展開すると、5(x – 1) = 5x – 5 になります。
右辺を展開すると、2(2x + a) = 4x + 2a になります。
したがって、不等式は次のようになります。
5x – 5 ＜ 4x + 2a
この式からxとaを分けていきます。
xとaを分ける
次に、xに関する項を左辺に、定数項を右辺に移動させます。
まず、5x – 4x = xを左辺に持ってきます。次に、右辺の定数項2aを左辺に持ってきます。
x ＜ 2a + 5
この不等式が成り立つxの最大値を求めるために、与えられた条件「最大の整数xがx = 6」を使います。
最大の整数xがx = 6の場合
xが整数であるため、この不等式が成り立つ最大のxは6です。したがって、次のように設定します。
6 ＜ 2a + 5
これを解くために、まず5を引きます。
1 ＜ 2a
次に、両辺を2で割ります。
1/2 ＜ a
aの範囲を求める
この時点で、aが1/2より大きいことがわかりました。次に、aの上限を求めます。
問題の条件「最大の整数xがx = 6」であるため、aが1より大きくならないように制約があります。したがって、a ≦ 1である必要があります。
これにより、aの範囲は次のように求められます。
1/2 ＜ a ≦ 1
なぜa ≦ 100ではダメなのか？
質問者が「a ≦ 100なども成り立つのでは？」と疑問に思っていますが、この問題においてa ≦ 100が成り立たない理由は、最大の整数xがx = 6であるという条件があるからです。
aの値が1より大きくなると、xが6を超えてしまいます。したがって、xの最大値が6であるため、aは1以下でなければならず、a ≦ 100という範囲は成立しません。
まとめ
この問題では、与えられた不等式を展開して整理し、xの最大値が6であることを利用して定数aの範囲を求めました。aの範囲は「1/2 ＜ a ≦ 1」となります。a ≦ 100という範囲が成り立たない理由は、xの最大値が6に制約されているからです。このように、不等式の条件を正しく理解し、適切に式を整理することで問題を解決することができます。
コメント