数1 二次関数の最大値・最小値の求め方：範囲の出し方を解説

数学

2025.05.10

数1の問題で出てくる二次関数の最大値・最小値の求め方を理解するためには、まず関数のグラフの形をしっかりと把握することが重要です。今回は、問題文に出てくる関数y = x^2 – 4x + 5を用いて、指定された範囲内での最大値と最小値を求める方法について解説します。

問題の確認と式の整理

問題文には、「a ≦ x ≦ a + 2 における二次関数 y = x^2 – 4x + 5 の最大値、最小値をそれぞれaの式で表せ」という内容があります。

まず、y = x^2 – 4x + 5という二次関数を、平方完成して簡単に扱える形に変形しましょう。

y = x^2 – 4x + 5の平方完成を行います。

まず、x^2 – 4xの部分を平方完成します。

x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4

したがって、yは次のようになります。

y = (x - 2)^2 + 1

これで、関数のグラフが最小値をとるx = 2であることがわかります。今後、この式を使って最大値と最小値を求めます。

問題文で与えられている範囲は「a ≦ x ≦ a + 2」です。この範囲内で最大値と最小値を求めるには、まずx = aとx = a + 2でのyの値を求め、その後、最小値と最大値を確認します。

x = aを式に代入すると、yは次のようになります。

y = (a - 2)^2 + 1

x = a + 2を式に代入すると、yは次のようになります。

y = (a + 2 - 2)^2 + 1 = a^2 + 1

これで、x = aとx = a + 2におけるyの値が求まりました。次に、最小値と最大値を比較します。

最小値はx = 2で、y = 1です。これを踏まえて、指定された範囲a ≦ x ≦ a + 2内で最大値と最小値を求めると、最小値はaに関係なく1、最大値はaの値に依存する形で決まります。

今回の問題を通して、二次関数の最大値・最小値を求める方法と範囲の決定方法について学びました。平方完成を利用して関数を簡単に扱える形に変形し、与えられた範囲内での最大値と最小値を求めることができました。理解が深まると、他の問題にも応用できるようになります。