三角関数の公式を使った等式の変形は、数学の重要な技術の一つです。ここでは、cos(x)·cos(5x) – sin(x)·sin(5x) = cos(6x) という等式を解くために必要な途中式とその理論を詳しく解説します。この問題は、三角関数の加法定理を利用することで簡単に証明できます。
三角関数の加法定理を使おう
まず、三角関数の加法定理について復習しておきましょう。加法定理は、2つの角度の三角関数の積を変換するための公式です。
加法定理は次のように表されます。
cos(A + B) = cos(A)·cos(B) – sin(A)·sin(B)
この公式を利用することで、cos(x)·cos(5x) – sin(x)·sin(5x)を簡単に変形することができます。
与えられた式に加法定理を適用する
式 cos(x)·cos(5x) – sin(x)·sin(5x) の中で、A = x、B = 5x と置きます。これにより、加法定理を適用することができます。
cos(x + 5x) = cos(x)·cos(5x) – sin(x)·sin(5x)
よって、この式は次のように変形できます。
cos(6x) = cos(x)·cos(5x) – sin(x)·sin(5x)
これにより、元の式が cos(6x) に等しいことが分かります。
加法定理の確認と証明
このように、加法定理を使って与えられた式を簡単に変形することができました。加法定理は、三角関数の積を単一の三角関数に変換するために非常に便利なツールであり、数学の問題を効率的に解くための基本的な技術の一つです。
加法定理の重要性を理解し、さまざまな三角関数の問題に適用することで、より複雑な問題も簡単に解くことができます。
まとめ
cos(x)·cos(5x) – sin(x)·sin(5x) = cos(6x) という等式は、三角関数の加法定理を使用することで簡単に証明できます。この公式を使えば、三角関数の積を効率的に簡略化でき、より複雑な計算もスムーズに進めることができます。加法定理をしっかり理解し、様々な問題に適用することが、数学の力を高める鍵となります。
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