代数的集合の問題解説: イデアルとその関連する集合の性質

今回は代数的集合に関する問題について解説します。問題では、体Kと多項式環R=K[X_1,X_2,…,X_n]が与えられ、その上で集合V(S)やイデアルIの定義が登場します。具体的には、√IがRのイデアルであることと、V(I) = V(√I)を示す問題です。

問題の背景

まず、与えられた問題を分解していきます。V(S)は「Sに属する多項式が、すべてPで0となるようなPの集合」と定義されています。イデアルIに対して、√Iは「あるnに対してf^n ∈ Iとなるようなf」と定義され、これがイデアルであることを示すのが1番目の課題です。

問題の理解とアプローチ

1つ目の課題では、√IがRのイデアルであることを示すためには、√Iの加法とスカラー倍に関する閉じている性質を示さなければなりません。すなわち、任意のf, g ∈ √Iと任意のスカラーrに対して、f + gやr * fが√Iに含まれることを確認します。

√Iがイデアルであることの証明

まず、√Iに含まれる任意のfとgに対して、f + gが√Iに含まれることを示します。もしf, g ∈ √Iであれば、f^n, g^m ∈ Iとなるn, mが存在します。よって、(f + g)の適当な累乗もIに含まれるため、f + g ∈ √Iです。同様に、スカラー倍についてもf * rが√Iに含まれることを示すことができます。

V(I) = V(√I)の証明

次に、V(I) = V(√I)を示すためには、V(S)が定義に基づき、それぞれが互いに包含関係にあることを確認する必要があります。V(I)とV(√I)の両方の定義を参照し、どちらの集合も同じPを含むことを示します。

V(S)の性質と包含関係の理解

V(S)の定義は、Sのすべての多項式がPでゼロとなるPの集合です。同様に、√Iにおいてもf^nがIに含まれるならば、そのPも同じ条件を満たすことが確認できます。これにより、V(I) = V(√I)が成立します。

まとめ

この問題は、代数的集合におけるイデアルとその関連性を理解することが求められています。√Iがイデアルであることを示すには、加法やスカラー倍に関して閉じていることを確認し、V(I) = V(√I)の証明には定義を丁寧に確認し、互いの包含関係を理解することが重要です。これらの証明を通して、代数的集合の基本的な性質を把握することができます。