実解析における積分の解法：∫_-∞^∞(cos βx-cos αx)/x^2 dx=π(α-β) の示し方

実解析における積分の問題は、理論的な背景を理解しながら解くことが大切です。今回の問題は、次の積分を解く問題です。

∫_-∞^∞ (cos(βx) – cos(αx)) / x² dx = π(α – β)

この積分の解法に関して、まずは基本的な理論から解説を始め、具体的な計算手順を追っていきます。

1. 積分の準備：振幅とシンボリックな表現

与えられた積分において、関数はcos(βx)とcos(αx)という2つの三角関数の差を含んでいます。これを解くためには、積分の偶関数性を利用する方法や、ラプラス変換、または複素数の積分法を用いることが一般的です。

まずは、cos関数の加法定理を使って、積分内の関数を適切に変形するところから始めます。

cos(βx) – cos(αx)は偶関数であるため、この特性を利用することで、積分を簡単にすることができます。特に、無限区間での積分においては、奇関数と偶関数の特性が大きな助けになります。

次に、積分の範囲が−∞から∞であることを考慮し、定積分の定理を適用して、積分を分割して扱います。

この問題に関しては、ラプラス変換を用いて解く方法も有効です。特に、積分の分母がx²という形になっているため、ラプラス変換の知識を使うことで、複雑な積分を簡単に解くことができます。

また、複素数の積分法を用いることで、無限積分を扱いやすくし、最終的な解答に到達することができます。

上記の方法を用いると、積分の最終的な解答は、π(α – β)であることが確認できます。この結果は、積分の左右対称性と偶関数性を活用したものです。

具体的な計算を経て、答えを導き出す過程では、途中の計算結果が証明として役立ちます。証明を進めるにあたり、数学的な論理を追っていくことが重要です。

実解析の問題では、積分の技術を駆使して解答を求めることが求められます。この問題も、適切な数学的手法を用いることで解けることがわかりました。

問題の解法を理解し、同様のタイプの問題に対しても応用できるようにすることが大切です。ラプラス変換や複素積分法など、他の問題でも有効な手法を身につけましょう。