この問題では、区間 D=[0, ∞) 上で定義された連続関数 f(x) が x → ∞ においてある有限の値に収束する場合に、その関数が一様連続であることを示す方法について解説します。具体的な証明手順を以下に示します。
問題の整理と一様連続性の定義
問題文において、関数 f(x) は区間 D=[0, ∞) 上で連続しており、x → ∞ のときに関数値がある有限の値 b に収束することが与えられています。ここで求めるのは、f(x) がこの条件を満たすとき、f(x) が一様連続であることの証明です。
一様連続性とは、次の条件を満たすことを意味します。
∀ε > 0, ∃δ > 0 に対して、|x – y| < δ ならば、|f(x) - f(y)| < ε が成り立つ。
収束する関数の特性
まず、f(x) が x → ∞ において b に収束するという条件から、任意の ε > 0 に対して、ある N > 0 が存在し、n ≧ N の場合には |f(x) – b| < ε が成り立つということが分かります。
この収束の性質を利用して、関数 f(x) が一様連続であることを証明します。
一様連続性の証明方法
一様連続性を示すために、ε > 0 を任意に与えられたときに、x と y が十分近い（|x – y| < δ）ときに |f(x) - f(y)| が小さくなることを示す必要があります。
まず、f(x) が収束するという性質から、任意の ε > 0 に対して δ を適切に選ぶことができます。x と y が十分近い場合、f(x) と f(y) の差が小さくなることを確認します。
その後、|f(x) – f(y)| < |f(x) - b| < ε の関係を利用して、δ の選び方を具体的に示します。
証明の流れ
証明の流れとしては、まず任意の ε > 0 に対して、f(x) の収束性を利用して δ を決め、次に |f(x) – f(y)| が ε より小さいことを示します。これにより、f(x) が一様連続であることが確認できます。
具体的な手順としては、収束に伴う距離の小ささを利用して、関数の連続性と一様連続性を結びつける形で証明を進めます。
まとめ
この問題では、関数 f(x) が x → ∞ においてある有限の値に収束する場合、その関数が一様連続であることを証明しました。収束の性質を利用することで、任意の ε に対して δ を適切に選ぶ方法を示し、最終的に f(x) が一様連続であることを確認しました。このような問題を解くことで、収束や連続性の概念がどのように絡み合うかを理解することができます。
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