関数の極限を計算する問題の中で、特に分数関数の極限はよく出題されます。今回は、以下の関数の極限について解説します。
lim(x→-1) x/(x+1)^2
この問題で混乱している点は、「limx→-1 x/(x+1)^2=-∞」と求められる理由と、1/∞の数がどのように扱われるかについてです。ここではその理由と解説を進めていきます。
1. 極限の計算を分ける
この式を扱う際、まずは分子と分母を別々に見てみましょう。
分子はxであり、x→-1のときにxは-1に近づきます。したがって、分子の極限は-1です。
一方、分母は(x+1)^2です。x→-1のとき、(x+1)は0に近づきますが、(x+1)^2は0に近づいて、実際に非常に大きな数（∞）に発散します。よって、分母の極限は∞になります。
2. 分母の∞と分子の-1の組み合わせ
ここで重要なのは、分子が-1であり、分母が∞に発散する点です。これは実際に-1/∞という形になります。
数学的に言うと、1/∞というのは0に非常に近い値になりますが、決して0そのものではありません。したがって、-1/∞は0に非常に近いですが、負の数です。
3. -∞に近づく理由
さて、実際にlimx→-1 x/(x+1)^2の計算を行ったときに、最終的な結果として-∞が出てくる理由は、分母が非常に大きな正の数に発散し、分子が負の定数であるためです。
実際には、xが-1に近づくと、(x+1)^2が非常に大きな値（∞）を取りますが、その値に対して分子が-1なので、結果として全体の値が負の無限大(-∞)に発散します。
4. 1/∞という数は存在するか？
質問の中にある「1/∞」という表現についても解説します。数学的には、1/∞は「0」に非常に近い数として扱われますが、完全に0になるわけではありません。
実際には、∞というのは「無限大」という概念であり、1/∞は「0に近づく」という意味合いです。このように、1/∞という数そのものは「存在しない」と言えますが、0に限りなく近い数と考えることができます。
5. まとめ
lim(x→-1) x/(x+1)^2を計算する際、分子の-1と分母の∞の組み合わせにより、最終的に-∞という結果に至ります。また、1/∞という数は存在しないものの、数学的には0に非常に近い数として扱われます。
このように、極限の計算を行う際には分子と分母の挙動をしっかり理解することが重要です。特に無限大を扱う際は、結果がどう発散するかを考えることがポイントとなります。
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