二次関数の問題：グラフがx軸と異なる2点で交わるときのmの範囲の求め方

この問題では、与えられた二次関数のグラフがx軸と異なる2点で交わるとき、パラメータmの範囲を求める方法について解説します。特に、判別式を使って解を求める方法と、交点の条件を使って解く方法について考えます。

問題の式と条件の整理

問題に与えられている関数は、y = x² – mx + m² – 3mです。この関数のグラフがx軸の正の部分と異なる2点で交わるという条件を満たすmの範囲を求めます。

二次関数がx軸と交わるためには、対応する二次方程式の解が実数である必要があります。このためには、判別式Dが0より大きい必要があります。

まず、与えられた二次方程式x² – mx + (m² – 3m) = 0の判別式Dを求めます。判別式Dは、次の式で表されます。

D = b² – 4ac

ここで、a = 1、b = -m、c = m² – 3mです。この値を使って判別式を計算すると、D = m² – 4(m² – 3m)となります。これを展開すると。

D = m² – 4m² + 12m = -3m² + 12m

判別式Dが0より大きくなるためには、D > 0が成り立つ必要があります。この条件から、-3m² + 12m > 0となり、mの範囲を求めることができます。

次に、問題文にあるように「x² – mx + m² – 3m = 0」の解を求めます。この式の解を求めるために解の公式を使います。

x = (-(-m) ± √((-m)² – 4×1×(m² – 3m))) / 2×1

この式を展開すると、次のようになります。

x = (m ± √(-3m² + 12)) / 2

解がx軸の正の部分と異なる2点で交わるためには、交点の一方の解が正である必要があります。このため、小さい方の解が正である条件を考えます。

小さい方の解は、(m – √(-3m² + 12)) / 2です。この値が正である必要があるので、m – √(-3m² + 12) > 0となります。

上記の条件から、m – √(-3m² + 12) > 0を解くことでmの範囲を求めます。この不等式を解くことで、mの範囲が得られます。

最終的に得られるmの範囲は、グラフがx軸の正の部分と異なる2点で交わるための条件を満たします。

この問題では、二次関数の判別式と解の条件を使って、mの範囲を求める方法を学びました。判別式Dを使って実数解の条件を確認し、交点の条件からmの範囲を求めることで、グラフがx軸の正の部分と異なる2点で交わるためのmの範囲を求めることができます。

この方法を用いることで、二次関数の問題を正確に解くことができます。