キャラメルの配り方問題：丸と棒を使わずに解く方法

数学の問題の中でも、分け方や配り方の問題はよく登場します。今回は、8個のキャラメルを3人で分けるという問題について、丸と棒を使わずに解く方法を解説します。まずは問題の設定を理解し、その後に必要な計算を行っていきましょう。

問題の設定と理解

問題文にあるように、8個のキャラメルをa, b, cの3人で分ける方法を考えます。ここで重要なのは、1個も受け取れない人がいても良い場合と、3人全員が少なくとも1つ受け取る場合の2つのケースを考えることです。

具体的には、以下の2つのケースに分けて配り方の総数を求め、その差を計算します。

このケースでは、各人が受け取るキャラメルの個数が0個以上であればよいという条件です。この場合、キャラメルをa, b, cの3人に配る方法は、単にキャラメル8個を3人で分ける方法を求めます。

この問題は、整数解を持つ方程式の問題として捉え、8個のキャラメルを3人に分ける方法の数は、以下の式で求めることができます。

8個のキャラメルを3人に分ける方法 = (8 + 3 – 1)C(3 – 1) = 10C2 = 45通り

次に、3人全員が少なくとも1つ受け取る場合を考えます。この場合、各人が1つ以上キャラメルを受け取る必要があるため、まず最初に3個のキャラメルをそれぞれに1個ずつ配ります。

残りのキャラメルは8 – 3 = 5個であり、これを3人で自由に分けることになります。この問題は再び「整数解を持つ方程式」の問題に帰着します。

残り5個のキャラメルを3人に分ける方法は、次の式で求められます。

5個のキャラメルを3人に分ける方法 = (5 + 3 – 1)C(3 – 1) = 7C2 = 21通り

最初のケース（1個も受け取れない人がいても良い場合）の配り方の総数は45通り、次のケース（3人とも少なくとも1つ受け取る場合）の配り方の総数は21通りでした。この差を計算すると。

差 = 45 – 21 = 24

8個のキャラメルをa, b, cの3人に分ける問題について、2つのケースを考えました。1個も受け取れない人がいても良い場合、配り方は45通りあり、3人とも少なくとも1つ受け取る場合、配り方は21通りでした。この差は24通りです。

このような問題を解く際には、まず条件を整理し、必要な計算を行うことが重要です。整数解を持つ方程式を使って計算することで、効率的に答えを求めることができます。