AがBの部分集合であるとき、AかつB = Aの証明方法

集合論における基本的な命題の一つに、「AがBの部分集合であるとき、AかつB = A」というものがあります。この命題を数理論理を使って証明していきましょう。ここでは、集合論における記号や定義に基づいて、証明のステップを順を追って解説します。

1. 部分集合の定義

まず、AがBの部分集合であるとはどういう意味かを確認します。AがBの部分集合であるとは、Aのすべての要素がBにも含まれている、つまり、任意の要素xに対して「x ∈ A ⇒ x ∈ B」が成り立つことを意味します。この定義を元に、AかつBの部分集合の性質を考えます。

2. AかつBの定義

AかつB（A ∩ B）とは、AとBの両方に共通する要素からなる集合です。つまり、x ∈ AかつBであるためには、xがAにもBにも含まれている必要があります。数学的に言うと、「x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A かつ x ∈ B」と定義されます。

3. A ⊆ B が成立する場合の証明

次に、AがBの部分集合である場合に、A ∩ B = A が成り立つことを証明します。A ⊆ B が成立すると、任意のx ∈ Aについてx ∈ Bも成り立ちます。このとき、A ∩ Bに含まれるxは、AにもBにも含まれているため、Aの全ての要素はA ∩ Bに含まれることがわかります。つまり、A ⊆ A ∩ Bが成り立ちます。

また、A ∩ Bの定義から、A ∩ Bに含まれるxはAにもBにも含まれているため、A ∩ B ⊆ Aも成り立ちます。

4. 結論として

以上の2つの部分から、A ⊆ A ∩ BおよびA ∩ B ⊆ Aが成り立ち、したがってA ∩ B = Aとなります。これにより、AがBの部分集合であるならば、AかつBはAと等しいことが証明されました。

まとめ

「AがBの部分集合であるとき、AかつB = A」という命題は、部分集合の定義と集合の交わりの定義に基づき、論理的に証明されることがわかりました。この証明は集合論における基本的な考え方の一つであり、集合の性質を理解するための基礎となります。