線形写像と行列を使って、R2内の図形の変換について考える問題です。特に、線形写像の特徴を理解し、それがどのように図形を変換するか、また与えられた行列が正方形をどのように変換するのかを理解することが求められます。この記事では、線形写像の性質と行列による変換について、具体的な例を使って解説します。
線形写像の性質：uとvを結ぶ線分の点xに対する変換
線形写像f: R2 → R2は、ベクトル空間の線形性を保ちながら、R2内の点を他の点に写像します。ここで、互いに平行でないベクトルuとvが与えられており、その線分を結ぶ点xに対してf(x)がどのように変換されるかを考えます。
線形写像の特徴として、fがベクトルの加算とスカラー倍を保つことがあります。つまり、f(x) = f(u) + f(v) のように、uとvの結ぶ線分上の任意の点xをf(u)とf(v)を結ぶ線分上の点に写像することができます。この性質を利用して、xがf(u)とf(v)を結ぶ線分上にあることを示すことができます。
行列による線形写像：正方形Sの変換
次に、行列を使って線形写像を定義し、正方形S = {(x, y) | 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1}をR2内でどのように変換するかを見ていきます。与えられた行列Aは次のようになります。
行列A = [(3, 1), (1, 2)]は、R2内のベクトルに作用し、新しいベクトルを得るために使います。これを使って、S内の各点(x, y)に対する線形写像f(x) = Axを計算します。
正方形Sの各点を変換する方法
正方形S内の点(x, y)に行列Aを適用することで、各点が新しい位置に変換されます。行列Aによる変換は次の式で表されます。
f(x, y) = A * (x, y) = (3x + y, x + 2y)。これにより、S内の各点がどのように変換されるかがわかります。
例えば、Sの各辺の頂点を変換することで、新しい四角形の頂点を計算することができます。具体的には、(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)の各点に対して行列Aを適用し、新しい座標を求めます。
行列Aによる変換の結果
正方形Sの各頂点に行列Aを適用すると、以下のように変換されます。
- f(0, 0) = (0, 0)
- f(1, 0) = (3, 1)
- f(0, 1) = (1, 2)
- f(1, 1) = (4, 3)
これにより、元の正方形Sが新しい四角形に変換される様子がわかります。新しい四角形の頂点は(0, 0), (3, 1), (1, 2), (4, 3)であり、この変換により、S内の各点がどのように変換されるかが視覚的に理解できます。
まとめ
線形写像はベクトルの加算とスカラー倍を保ちながら、R2内の図形を変換します。特に、互いに平行でないベクトルuとvを結ぶ線分上の点xがどのように変換されるかを示すために、線形写像の性質を活用することができます。また、行列を使った線形写像では、正方形などの図形がどのように変換されるかを計算することができ、新しい図形の頂点を求めることで変換の結果を理解できます。
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