数列 {a^n} の収束と発散の調べ方

数列 {a^n} の収束や発散を調べることは、数学の基本的な問題の一つです。このような数列の性質を調べるためには、いくつかの方法や定理を駆使してその収束性や発散性を確認する必要があります。この記事では、数列 {a^n} の収束と発散の違いについて、詳しく解説していきます。

1. 数列 {a^n} の基本的な形

数列 {a^n} とは、各項が a の n 乗で表される数列です。この数列における a は定数で、n は自然数です。例えば、a=2 の場合、数列は 2, 4, 8, 16, 32, … のように指数的に増加します。

数列 {a^n} の収束性を調べるためには、a の値が重要な役割を果たします。a がどのような値であったとしても、数列が収束するか発散するかの決定要因となります。

数列 {a^n} が収束するための条件は、a の絶対値が 1 より小さい場合です。すなわち、|a| < 1 の場合、数列は収束します。

この理由は、|a| が 1 より小さいと、n が増加するにつれて a^n の値が 0 に近づくためです。例えば、a=0.5 の場合、数列は 1, 0.5, 0.25, 0.125, … と、どんどん小さくなっていき、最終的には 0 に収束します。

逆に、数列 {a^n} が発散する条件は、a の絶対値が 1 以上の場合です。つまり、|a| ≥ 1 の場合、この数列は発散します。

例えば、a=2 の場合、数列は 2, 4, 8, 16, … と指数的に増加します。a=-2 の場合も、数列は -2, 4, -8, 16, … のように交互に増加していきます。このように、a の絶対値が 1 以上だと、数列の各項は無限大に発散していきます。

数列 {a^n} の収束と発散を調べる際には、a の絶対値が重要です。

収束する場合の条件：|a| < 1

発散する場合の条件：|a| ≥ 1

このように、数列 {a^n} の収束性と発散性を確認するためには、a の絶対値をチェックすることが大切です。