複素数と対数の計算方法：log((e²/√2) − i(e²/√2)) の解法

複素数と対数を扱う際、特に対数の計算においては少し込み入った計算が必要となります。この記事では、与えられた式 log((e²/√2) − i(e²/√2)) の解法について詳しく解説します。複素数の扱いに不安がある方にもわかりやすいようにステップごとに説明していきます。

1. 与えられた式の理解

まず、式 log((e²/√2) − i(e²/√2)) を見てみましょう。この式には自然対数の log と複素数が含まれています。複素数は実数部分と虚数部分を持っており、実数部分は e²/√2、虚数部分は -i(e²/√2) です。これを正しく処理するために、複素数の極形式に変換する必要があります。

式に登場する e²/√2 の部分を定義して、これを使って複素数の極形式を計算します。

2. 複素数の極形式への変換

複素数を極形式に変換するには、まず複素数の大きさと角度を計算する必要があります。複素数 z = a + bi の大きさは |z| = √(a² + b²) で計算できます。ここでは、a = e²/√2、b = -e²/√2 となるので、大きさ |z| は次のように求められます。

|z| = √((e²/√2)² + (−e²/√2)²) = √(e⁴/2 + e⁴/2) = √(e⁴) = e²

次に、角度 θ を求める必要があります。角度は複素数の実数部分と虚数部分の比率から求めることができます。この場合、θ は arctan(b/a) で計算できますが、b が負なので、θ は負の角度になります。最終的に、複素数の極形式は次のように表せます。

z = e² (cos θ + i sin θ)

3. 複素数の対数の計算

複素数の対数を計算するには、複素数の極形式を使用します。複素数の対数は次の式で表されます。

log(z) = log(|z|) + iθ

ここで、|z| は複素数の大きさ、θ は角度です。したがって、log((e²/√2) − i(e²/√2)) の対数は次のように計算できます。

log(z) = log(e²) + iθ

log(e²) は 2 であり、θ は先ほど求めた角度になります。

4. 結論とまとめ

与えられた複素数式 log((e²/√2) − i(e²/√2)) の解法は、まず複素数を極形式に変換し、その後対数の公式に従って計算することで求められます。このプロセスを通じて、複素数の対数を求める方法を理解することができました。

複素数の対数計算は最初は少し難しく感じるかもしれませんが、極形式と対数の計算方法を理解することで、スムーズに解くことができるようになります。