この問題では、複素数の写像に関する2つの問題を解く方法を解説します。z平面上の直線Im(z) = 1/2が複素関数w = 1/zによってどのように写されるのか、そして領域Im(z) > 0が1次分数変換w = (αz + β) / (z + γ)によってw平面上の領域|w| < 1に写される条件を求めます。これらの問題を解くための手順を順を追って説明します。
(a) Im(z) = 1/2がw = 1/zによって写される図形
まず、Im(z) = 1/2という直線がz平面上に与えられています。この直線は、z = x + iy (x, yは実数) の形で表される複素数zの虚部Im(z)が1/2であることを意味します。
z平面上の点z = x + i(1/2)は、y座標が常に1/2の位置にある直線上の点を表しています。この直線がw平面上でどのような図形になるかを求めます。w = 1/zの関数を使って、w平面上での点wを求めます。
w = 1/z = 1/(x + i(1/2)) と置き換え、wの実部と虚部に分解します。計算を行うことで、この直線がw平面上でどのような図形に写されるかが分かります。最終的に、この直線がw平面上で描く図形は、円の一部となることが分かります。
(b) Im(z) > 0 が w = (αz + β) / (z + γ) によって w平面上の領域 |w| < 1 に写される条件
次に、Im(z) > 0という領域が1次分数変換 w = (αz + β) / (z + γ) によってw平面上の領域 |w| < 1 に写される条件を求めます。
この問題では、1次分数変換が領域の写像をどのように行うかを理解する必要があります。まず、w平面での領域 |w| < 1 は単位円内の点を意味します。
1次分数変換w = (αz + β) / (z + γ) の一般的な特性を考えたとき、z平面上のIm(z) > 0 の領域（上半平面）をこの変換がどのように写すかを求めます。この条件を満たすα、β、γを求めるためには、変換後のwの絶対値が1未満であることが必要です。
この計算は、z = x + iy (y > 0) の形で実行することにより、α、β、γに関する関係式を得ることができます。計算を進めると、特定のα、β、γの値が導かれ、これによって領域Im(z) > 0がw平面上の単位円内に写されることがわかります。
計算の実行例
(a)の場合、z平面上の直線Im(z) = 1/2をw = 1/zに写すことで、計算を通して得られるw平面上の図形が円の一部であることが分かります。
(b)の場合、1次分数変換による写像を使って、Im(z) > 0の領域がw平面での|w| < 1の領域に写る条件を具体的に計算します。この手順を繰り返し行うことで、α、β、γの値が明確に求められます。
まとめ
複素数の写像に関する問題では、実際に計算を行いながら、z平面とw平面での図形の変化を追うことが重要です。(a)の問題では、z平面上の直線Im(z) = 1/2がw = 1/zによって円の一部に写されることがわかり、(b)の問題では、1次分数変換によって領域Im(z) > 0がw平面上の単位円内に写される条件を求めました。
このような問題を解く際には、写像の性質をよく理解し、計算を丁寧に進めることが成功のカギとなります。複素数の写像問題は、抽象的な概念を視覚的に理解するための良い練習となります。
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